2023年湖北省黄冈市锥子河中学高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为(为参数),直线与抛物线交于点,则的值是( )
A. B.2 C. D.10
参考答案:
B
2. 在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的相关指数R2如下,其中拟合效果最好的模型是 ( )
A、模型1的相关指数R2为0.60 B、模型2的相关指数R2为0.90
C、模型3的相关指数R2为0.98 D、模型4的相关指数R2为0.25
参考答案:
C
略
3. 设拋物线C:x2=4y的焦点为F,经过点P(l,5)的直线l与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,则丨AF|+|BF|=( )
A.12 B.8 C.4 D.10
参考答案:
A
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由图,求丨AF|+|BF|的问题,可以转化为求点A,B两点到准线的距离和的问题,而这两者的和转化为点P到准线距离和的2倍.
【解答】解:设P到准线的距离为d,如图,丨AF|+|BF|=|AE|+|BD|=2d
抛物线x2=4y,准线方程为y=﹣1
故点P到准线的距离是6,
所以丨AF|+|BF|=12
故选:A.
【点评】本题考查抛物线的定义,考查学生的计算能力,正确运用抛物线的定义是关键.
4. 下列有关命题的说法错误的是 ( )
A、命题“若 则 ”的逆否命题为:“若, 则”.
B、“”是“”的充分不必要条件.
C、若为假命题,则、均为假命题.
D、对于命题:使得. 则: 均有
参考答案:
C
略
5. 道路安全交通法规定,驾驶员血液酒精含量在20~80mg/100ml,属酒后驾车,血液酒精含量在80mg/100ml以上时,属醉酒驾车,2011年6月1日7:00至22:30,某地查处酒后驾车和醉酒驾车共50起,如图是对这50人的血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数大约为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
参考答案:
D
6. 已知是第二象限角,且,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 定义域为R的奇函数的图像关于直线对称,且,则( )
A. 4034 B. 2020 C. 2018 D. 2
参考答案:
C
【分析】
先求出函数的周期,再结合已知条件求解.
【详解】因为函数的图像关于直线x=2对称,所以,
所以
所以,
所以函数的周期是8,
所以.
故选:C
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性及函数的周期性,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8. 在△ABC中,三内角分别是A、B、C,若,则此三角形一定是( )
A.直角三角形 B.正三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
C
9. 在△ABC中,,那么△ABC一定是
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
参考答案:
D
略
10. 总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
A. 08 B.07 C.02 D.01
参考答案:
D
试题分析:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01,.其中第二个和第四个都是02,重复.
可知对应的数值为08,02,14,07,01,
则第5个个体的编号为01
考点:随机抽样
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在随机数模拟试验中,若 , , 表示生成到之间的随机数,共做了次试验,其中有次满足,则椭圆的面积可估计为 。
参考答案:
12. 正方体中,,是的中点,则四棱锥的体积为_____________.
参考答案:
略
13. 设是原点,向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是 ;
参考答案:
5-5i
14. 某企业对4个不同的部门的个别员工的年旅游经费调查发现,员工的年旅游经费y(单位:万元)与其年薪(单位:万元)有较好的线性相关关系,通过下表中的数据计算得到y关于x的线性回归方程为.
x
7
10
12
15
y
0.4
1.1
1.3
2.5
那么,相应于点的残差为_______.
参考答案:
0.0284
【分析】
将x=10代入线性回归方程,求得,利用残差公式计算即可.
【详解】当时,,
∴残差为y-.
故答案为.
【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题,考查了残差的计算公式,是基础题.
15. 在中,则的面积为 .
参考答案:
16. 在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值= .
参考答案:
9
【考点】等差数列的性质.
【分析】设首项为a1,公差为d,则由S4=1,S8=4,求得 a1 和d的值,再由a17+a18+a19+a20=4a1+70d,运算求得结果.
【解答】解:设首项为a1,公差为d,则由S4=1,S8=4,可得 4a1+6d=1,8a1+28d=4.
解得 a1=,d=,
∴则a17+a18+a19+a20=4a1+70d=9,
故答案为 9.
17. 曲线上在点处的切线方程为 ▲ .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中
(1)求证:AC⊥BD1
(2)求异面直线AC与BC1所成角的大小.
参考答案:
【考点】直线与平面垂直的性质;异面直线及其所成的角.
【分析】(1)根据正方体的性质,结合线面垂直的判定与性质加以证明,可得AC⊥BD1;
(2)连结AD1、CD1,可证出四边形ABC1D1是平行四边形,得BC1∥AD1,得∠D1AC(或补角)就是异面直线AC与BC1所成角.等边△AD1C中求出∠D1AC=60°,即得异面直线AC与BC1所成角的大小.
【解答】解:(1)∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴AC⊥DD1,
∵正方形ABCD中,AC⊥BD,DD1∩BD=D,
∴AC⊥平面BDD1,
∵BD1?平面BDD1,∴AC⊥BD1;
(2)连结AD1、CD1,
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,ABC1D1,
∴四边形ABC1D1是平行四边形,得BC1∥AD1,
由此可得∠D1AC(或补角)就是异面直线AC与BC1所成角.
∵△AD1C是等边三角形,
∴∠D1AC=60°,即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°.
19. 命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0,对一切x∈R恒成立;命题q:函数f(x)=log3﹣2ax在(0,+∞)上是增函数,若p∨q为真,p∧q为假.求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据一元二次不等式恒成立的充要条件,可求出命题p为真命题时,实数a的取值范围;根据对数函数的单调性与底数的关系,可以求出命题q为真命题时,实数a的取值范围;进而根据p∨q为真,p∧q为假,判断出p与q一真一假,由此构造关于a的不等式组,解不等式组可得实数a的取值范围.
【解答】解:若命题p为真命题,
则△=4a2﹣16<0,解得﹣2<a<2;
若命题q为真命题,
则3﹣2a>1,解得a<1
∵p∨q为真,p∧q为假.
∴p与q一真一假
即,或
解得a≤﹣2,或1≤a<2
∴实数a的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[﹣1,2)
【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了一元二次函数的图象和性质,对数函数的图象和性质,难度不大.
20. (本小题满分10分)调查在2~3级风时的海上航行中男女乘客的晕船情况,共调查了71人,其中女性34人,男性37人。女性中有10人晕船,另外24人不晕船;男性中有12人晕船,另外25人不晕船。
(1) 根据以上数据建立有关2×2的列联表;
(2) 判断晕船是否与性别有关系。
(3) 参考公式:(其中)
参考答案:
解:(1)2×2的列联表:
晕船情况
性别
晕船
不晕船
………………………5分
总计
女
10
24
34
男
12
25
37
总计
22
49
71
(2)计算……………………………8分
因为<2.706,所以我们没有理由说“晕船与性别有关” ……………10分
略
21. (本小题满分12分)
已知椭圆的左右焦点坐标分别是,离心率,直线与椭圆交于不同的两点.
(1)求椭圆的方程;(2)求弦的长度.
参考答案:
解:(1)依题意可设椭圆的方程为……………………1分
则,解得…………………………………3分
…………………………………………5分
椭圆的方程为…………………………………………6分
22. (本题满分14分)设有半径为3的圆形村落,A.B两人同时从村落中心出发,B向北直行,A先向东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与B相遇.设A.B两人速度一定,其速度比为3:1,问两人在何处相遇?
参考答案: