2023年福建省龙岩市上杭县实验中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f(x)在处存在导数,则= ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
2. 在数列中,,则该数列的前100项和等于( )
0 B.-2525 C. 5050 D.-5050
参考答案:
D
3. 设,将这五个数据依次输入下面程序框进行计算,则输出的值及其统计意义分别是( )
A.,即个数据的方差为 B. ,即个数据的标准差为
C. ,即个数据的方差为 D. ,即个数据的标准差为
参考答案:
A
略
4. 已知函数f(x)=x3﹣3x2﹣m存在2个零点,则这两个零点的和为( )
A.1 B.3 C.1或4 D.1或3
参考答案:
D
【考点】52:函数零点的判定定理.
【分析】求出导函数,得出函数的极值点,根据题意得出f(2)=0或f(0)=0,求出零点即可.
【解答】解:f(x)=x3﹣3x2﹣m,
∴f′(x)=3x2﹣6x=0有两不等根,
∴x=0,x=2,
∴f(2)=0或f(0)=0,
∴零点分别为0,3或2,﹣1,
∴这两个零点的和为3或1.
故先:D.
5. 等差数列是递减数列,且,,则数列的通项公式是
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 若点在椭圆上,F1,F2分别是该椭圆的两焦点,且,则的面积是( )
A. 1 B. 2 C. D.
参考答案:
A
7. 甲、乙两名同学在次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别为,则下列结论正确的是( )
A. ;乙比甲成绩稳定
B. ;甲比乙成绩稳定
C. ;甲比乙成绩稳定
D. ;乙比甲成绩稳定
参考答案:
D
8. 对任意实数,定义运算,其中是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知,并且有一个非零常数,使得对任意实数,都有,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 设复数满足,则
A. B. C. D.
参考答案:
10. 设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是
A、 B、
C、 D、
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中,,分别为中点,为线段EF上任意一点,实数满足,设的面积分别为,取得最大值时,的值为 .
参考答案:
略
12. 已知、为互相垂直的单位向量,非零向量,若向量与向量、的夹角分别为、,则
参考答案:
1
13.
参考答案:
略
14. 公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a12=36,则a6= .
参考答案:
【考点】等比数列的通项公式.
【专题】方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:∵公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a12=36,
∴,化为=6,∴a1=.
∴a6==.
故答案为:.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
15. 不等式,且的解集为______.
参考答案:
略
16. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第个图案中有白色地面砖的块数是 .
参考答案:
4n+2
17. 在区间(0,4)内任取一个实数x,则使不等式x2﹣2x﹣3<0成立的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【专题】概率与统计.
【分析】先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围,然后利用几何概型的概率公式求解.
【解答】解:由题意知0<x<4.
由x2﹣2x﹣3<0,解得﹣1<x<3,
所以由几何概型的概率公式可得使不等式x2﹣2x﹣3<0成立的概率
为=,.
故答案为:.
【点评】本题主要考查几何概型,要求熟练掌握几何概型的概率求法.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如表:
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.
参考答案:
【考点】等可能事件的概率;分层抽样方法.
【专题】综合题;概率与统计.
【分析】(1)先根据抽到初二年级女生的概率是0.19,做出初二女生的人数,
(2)再用全校的人数减去初一和初二的人数,得到初三的人数,全校要抽取48人,做出每个个体被抽到的概率,做出初三被抽到的人数.
(3)由题意,y+z=500,y≥245,z≥245,即可求出初三年级中女生比男生多的概率.
【解答】解:(1)∵在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19
即: =0.19,
∴x=380.
(2)初三年级人数为y+z=2000﹣(373+377+380+370)=500,
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,
应在初三年级抽取的人数为×500=12名.
(3)由题意,y+z=500,y≥245,z≥245,基本事件共有11个,y>z,共有5个
则y>z的概率为.
【点评】本题考查分布的意义和作用,考查分层抽样,是一个统计的综合题,题目运算量不大,也没有难理解的知识点,是一个基础题.
19. (本小题12分)如图,在四棱锥中,底面为
平行四边形,底面,,,
,,E在棱上,
(Ⅰ) 当时,求证: 平面;
(Ⅱ) 当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案:
为二面角的平面角,即=,此时E为的中点
设平面的法向量为 计算可得
20. 设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x,a∈R.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)当时,函数单调递增区间为,当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为; (Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)先求出,然后讨论当时,当时的两种情况即得.
(Ⅱ)分以下情况讨论:①当时,②当时,③当时,④当时,综合即得.
试题解析:(Ⅰ)由
可得,
则,
当时,
时,,函数单调递增;
当时,
时,,函数单调递增,
时,,函数单调递减.
所以当时,单调递增区间为;
当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
①当时,,单调递减.
所以当时,,单调递减.
当时,,单调递增.
所以在x=1处取得极小值,不合题意.
②当时,,由(Ⅰ)知在内单调递增,
可得当当时,,时,,
所以在(0,1)内单调递减,在内单调递增,
所以在x=1处取得极小值,不合题意.
③当时,即时,在(0,1)内单调递增,在内单调递减,
所以当时,,单调递减,不合题意.
④当时,即,当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极大值,合题意.
综上可知,实数a的取值范围为.
【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高,是一道难题.解答本题,准确求导是基础,恰当分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.
21. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ.
( I)求直角坐标下圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点P(l,2),设圆C与直线l交于点A,B,求|PA|+|PB|的值.
参考答案:
【考点】QH:参数方程化成普通方程.
【分析】(I)圆C的方程为ρ=6sinθ,即ρ2=6ρsinθ,利用互化公式可得直角坐标方程,配方可得标准方程.
(II)直线l的参数方程为(t为参数),代入圆的方程可得:t2﹣7=0,解得t1,t2.利用|PA|+|PB|=|t1﹣t2|,即可得出.
【解答】解:(I)圆C的方程为ρ=6sinθ,即ρ2=6ρsinθ,利用互化公式可得直角坐标方程:x2+y2=6y,配方为x2+(y﹣3)2=9.
(II)直线l的参数方程为(t为参数),代入圆的方程可得:t2﹣7=0,解得t1=,t2=﹣.
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|=2.
22. 某个几何体的三视图如图所示(单位:m)
(1)求该几何体的表面积;
(2)求该几何体的体积.
参考答案:
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】通过三视图判断几何体的特征,(1)利用三视图的数据求出几何体的表面积;
(2)利用组合体的体积求出几何体的体积即可.
【解答】解:由三视图可知,该几何体是由半球和正四棱柱组成,棱柱是正方体棱长为:2,球的半径为1,
(1)该几何体的表面积=正方体的表面积+半球面面积﹣球的底面积.
∴S=6×2×2+2π×12﹣π×12=24+π(m2).
(2)该几何体的体积为正方体的体积+半球的体积,
V=2×2×2+×π×13=8+π(m3)