2023年陕西省西安市户县惠安中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数,则方程的根的个数是( )
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
参考答案:
A
【分析】
根据题意,分别讨论,和两种情况,根据函数解析式,即可求出结果.
【详解】因为
(1)当时,由,解得或,
若,则或,解得或;或或;
若,则或,解得;
(2)当时,由,解得或(舍),所以.
若,则,解得;
若,则,解得.
综上,方程的根的个数是7个.
故选A
【点睛】本题主要考查由复合函数值求参数的问题,灵活运用分类讨论的思想即可求解,属于常考题型.
2. 下列对应关系f中,不是从集合A到集合B的映射的是( )
A A=,B=[1,3),f:求算术平方根; B A=R,B=R,f:取绝对值
C A=,B=R,f:求平方; D A=R,B=R,f:取倒数
参考答案:
D
3. (多选题)已知实数a、b,判断下列不等式中哪些一定是正确的( )
A. B.
C. D.
参考答案:
CD
【分析】
当,时,不成立;当,时,不成立;由利用基本不等式即可判断;由,可判断.
【详解】当,时,不成立;
当时,不成立;
;
,
故,
故选:CD.
4. 已知全集U=R,集合A={x|x+1<0},B={x|x﹣3<0},那么集合(?UA)∩B=( )
A.{x|﹣1≤x<3} B.{x|﹣1<x<3} C.{x|x<﹣1} D.{x|x>3}
参考答案:
A
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】先对两个集合进行化简,再根据集合运算的性质求集合(CUA)∩B
【解答】解:A={x|x+1<0}=(﹣∞,﹣1),B={x|x﹣3<0}=(﹣∞,3),
∴CUA=[﹣1,+∞)
∴(CUA)∩B=[﹣1,3)
故选A
5. 函数,则f(log23)=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】分段函数的应用;函数的值.
【分析】由已知中函数,将x=log23代入可得答案.
【解答】解:∵函数,
将x=log23∈(1,2)
则f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)==,
故选:A.
6. 若,则f[f(﹣2)]=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
C
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.
【专题】计算题.
【分析】在解答时,可以分层逐一求解.先求f(﹣2),再根据f(﹣2)的范围求解f[f(﹣2)]的值.从而获得答案.
【解答】解:∵﹣2<0,
∴f(﹣2)=﹣(﹣2)=2;
又∵2>0,
∴f[f(﹣2)]=f(2)=22=4
故选C.
【点评】本题考查的是分段函数求值问题.在解答中充分体现了分类讨论思想、函数求值知识以及问题转化思想的应用.属于常规题型,值得同学们总结反思.
7. 函数的定义域为,则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
8. 与向量垂直的单位向量为 ( )
(A) (B) (C)(D)
参考答案:
D
9. 如图在直角梯形中,,,直线,
截得此梯形所得位于左方的图形面积为,那么函数的图象大致可
为下列图中的( )
参考答案:
C
10. 函数f(x)=2sin(x﹣)+1的周期、振幅、初相分别是( )
A.4π,﹣2, B.4π,2, C.2π,2,﹣ D.4π,2,﹣
参考答案:
D
【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.
【分析】由函数f(x)的解析式,可以求出它的周期、振幅和初相是什么.
【解答】解:∵函数f(x)=2sin(x﹣)+1,
∴ω=,周期T==4π;
振幅A=2;
初相φ=﹣.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域是 .
参考答案:
略
12. 已知θ∈R,则直线的倾斜角的取值范围是___________.
参考答案:
略
13. (5分)函数y=定义域是 .
参考答案:
(5,6]
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 计算题.
分析: 根据偶次根号下的被开方数大于等于零,对数的真数大于零,列出不等式组,进行求解再用集合或区间的形式表示出来.
解答: 解:要使函数有意义,则,
解得,5<x≤6,
则函数的定义域是(5,6].
故答案为:(5,6].
点评: 本题考查了函数定义域的求法,即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组,最后注意要用集合或区间的形式表示出来,这是易错的地方.
14. 直线l过点(﹣1,2)且与直线2x﹣3y+4=0垂直,则直线l的方程是 .
参考答案:
3x+2y﹣1=0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为3x+2y+c=0,再把点(﹣1,2)代入,即可求出c值,得到所求方程.
【解答】解:∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直,∴设方程为3x+2y+c=0
∵直线过点(﹣1,2),∴3×(﹣1)+2×2+c=0
∴c=﹣1
∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0.
故答案为3x+2y﹣1=0.
15. 如图所示,三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M、N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系,其中正确的是( )
参考答案:
A
略
16. 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 .
参考答案:
17. 集合 与集合的元素个数相同,则的取值集合为__________________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)已知函数f(x)=2b?4x﹣2x﹣1
(Ⅰ)当b=时,利用定义证明函数g(x)=在(﹣∞,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)当b=时,若f(x)﹣m≥0对于任意x∈R恒成立,求m的取值范围;
(Ⅲ)若f(x)有零点,求b的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(Ⅰ)运用单调性的定义,结合指数函数的单调性,即可得证;
(Ⅱ)当b=时,f(x)﹣m≥0即为m≤4x﹣2x﹣1恒成立,即m≤4x﹣2x﹣1的最小值,运用配方和二次函数和指数函数的值域,即可求得m的范围;
(Ⅲ)f(x)有零点,即为2b?4x﹣2x﹣1=0有实数解,由参数分离和指数函数的值域,即可得到b的范围.
【解答】解:(Ⅰ)证明:当b=时,f(x)=4x﹣2x﹣1,
g(x)==2x﹣2﹣x﹣1,
设m<n,g(m)﹣g(n)=2m﹣2﹣m﹣1﹣(2n﹣2﹣n﹣1)
=(2m﹣2n)+(2﹣n﹣2﹣m)=(2m﹣2n)(1+2﹣m﹣n),
由m<n,可得0<2m<2n,2m﹣2n<0,
即有g(m)<g(n),则g(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)当b=时,f(x)﹣m≥0即为m≤4x﹣2x﹣1恒成立,
即m≤4x﹣2x﹣1的最小值,而4x﹣2x﹣1=(2x﹣)2﹣≥﹣,
当x=﹣1时,取得最小值﹣,
则有m≤﹣;
(Ⅲ)f(x)有零点,即为2b?4x﹣2x﹣1=0有实数解,
即2b==()2x+()x=[()x+]2﹣,
由于()x>0,可得()x+]2﹣>﹣=0,
即有2b>0,即b>0.
【点评】本题考查函数的单调性的证明,不等式恒成立问题的解法和函数的零点问题,注意转化为函数的最值和方程的解,考查运算能力,属于中档题.
19. 已知二次函数(是实数),若对于恒成立.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求函数在上的最小值.
参考答案:
(Ⅰ)(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)由题可得对于恒成立,利用恒成立的等价条件可得答案。
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,图像开口向上,对称轴为 ,
分,,三种情况讨论即可得到答案。
【详解】(Ⅰ)因为,且对于恒成立.
所以对于恒成立,
即对于恒成立,
,即 ,
所以 ,即
所以,即,整理有
所以
所以解得
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,图像开口向上,对称轴为
当时,在上单调递增,所以当时取得最小值,;
当即 时,在处取得最小值,此时;
当即时,在上单调递减,所以当时取得最小值,
;
综上
【点睛】本题考查函数的恒成立问题以及最值问题,解题的关键是理解恒成立的解题方法,求出解析式,属于偏难题目。
20. 王某2017年12月31日向银行贷款100000元,银行贷款年利率为5%,若此贷款分十年还清(2027年12月31日还清),每年年底等额还款(每次还款金额相同),设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元.
(1)设每年的还款额为m元,请用m表示出;
(2)求每年的还款额(精确到1元).
参考答案:
(1);
(2),
,.
21. 已知A = {x|3≤2x + 3≤11},B ={y|y = –x2 – 1,–1≤x≤2},求.
参考答案:
解析:由3≤2x + 3≤11,得0≤x≤4,∴A = [0,4]
由y = –x2 – 1,–1≤x≤2得x = 0时ymax = –1;x = 2时,ymin = –5,
∴–5≤y≤–1,即B = [–5,–1] ∴A∩B =, ∴ = R.
22. 已知平面向量,满足||=1,||=2.
(1)若与的夹角θ=120°,求|+|的值;
(2)若(k+)⊥(k﹣),求实数k的值.
参考答案:
【考点】数量积表示两个向量的夹角;数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】(1)利用两个向量数量积的定义,求得的值,可得|+|= 的值.
(2)利用两个向量垂直的性质,可得(k+)?(k﹣)=k2?a2﹣=0,由此求得k的值.
【解答】解:(1)||=1,||=2,若与的夹角θ=120°,则=1?2?cos120°=﹣1,
∴|+|====.
(2)∵(k+)⊥(k﹣),∴(k+)?(k﹣)=k2?﹣=k2﹣4=0,
∴k=±2.