云南省大理市公郎中学2023年高二数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
B
略
2. 命题“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是 ( )
A.?x∈(0,+∞),lnx≠x-1 B.?x? (0,+∞),lnx=x-1
C.?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1 D.?x0? (0,+∞),lnx0=x0-1
参考答案:
A
因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0﹣1”的否定是:.
故选:A.
3. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数,现从1,2,3,4,5,6这六个数中任取3个,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有
A.120个 B.80个 C.40个 D.20个
参考答案:
B
略
4. 已知向量,满足||=||=|+|=1,则向量,夹角的余弦值为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
参考答案:
B
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】将|+|=1两边平方,结合已知条件可算出?=﹣,再用两个向量的夹角公式即可算出向量,夹角的余弦值.
【解答】解:∵|+|=1,
∴(+)2=2+2?+2=1
∵||=||=1,得2=2=1
∴代入上式得:2?=﹣1, ?=﹣
因此,向量,夹角的余弦为cosθ==﹣
故选:B
5. 函数y=3sin的单调递增区间是( )。
A、 B、
C、 D、
参考答案:
C
6. 某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )
A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96
参考答案:
D
7. 过点A(2,1),且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程为( )
A.x+2y﹣4=0 B.x﹣2y=0 C.2x﹣y﹣3=0 D.2x+y﹣5=0
参考答案:
C
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】设要求的直线方程为:2x﹣y+m=0,把点A(2,1)代入解得m即可得出.
【解答】解:设要求的直线方程为:2x﹣y+m=0,
把点A(2,1)代入可得:4﹣1+m=0,解得m=﹣3.
可得要求的直线方程为:2x﹣y﹣3=0,
故选:C.
【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
8. 一名老师和两名男生两名女生站成一排照相,要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端,则不同站法的种数为( ).
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
参考答案:
D
两名女生站一起有种站法,她们与两个男生站一起共有种站法,老师站在他们的中间有=24种站法,故应选D.
9. 若为实数,且,则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 设x,y满足约束条件若目标函数的最大值1,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.4
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在的展开式中,含x5项的系数是________
参考答案:
207
12. “”是“函数为奇函数”的_____________条件.
(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”,“既不充分也不必要”中选择适当的填写)
参考答案:
充分不必要
略
13. 已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列,公差d∈N*,且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项.
(1)若a1=4,则d的取值集合为 ;
(2)若a1=2m(m∈N*),则d的所有可能取值的和为 .
参考答案:
(1){1,2,4},(2)2m+1﹣1.
【考点】等差数列的性质;等比数列的前n项和.
【分析】由题意可得,ap+aq=ak,其中p、q、k∈N*,利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系,然后根据d的取值范围进行求解.
【解答】解:由题意可得,ap+aq=ak,其中p、q、k∈N*,
由等差数列的通向公式可得a1+(p﹣1)d+a1+(q﹣1)d=a1+(k﹣1),
整理得d=,
(1)若a1=4,则d=,
∵p、q、k∈N*,公差d∈N*,
∴k﹣p﹣q+1∈N*,
∴d=1,2,4,
故d的取值集合为 {1,2,4};
(2)若a1=2m(m∈N*),则d=,
∵p、q、k∈N*,公差d∈N*,
∴k﹣p﹣q+1∈N*,
∴d=1,2,4,…,2m,
∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1﹣1,
故答案为(1){1,2,4},(2)2m+1﹣1.
14. 大小、形状相同的白、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取
2次,则摸取的2个球均为白色球的概率是_______.
参考答案:
15. 直线过点(—4,0)且与圆交于两点,如果,那么直线的方程为
参考答案:
或
略
16. 在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱垂直底面的四棱锥称之为阳马.现有一阳马的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为▲cm3,表面积为 ▲ cm2.
参考答案:
16 ;
17. 已知点,圆:,点是圆上一个动点,线段AN的垂直平分线交直线AM于点P,则点P的轨迹方程为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知锐角△ABC三个内角为A,B,C,向量p=(cosA+sinA,2-2sinA),向量q=(cosA-sinA,1+sinA),且p⊥q.
(1)求角A;
(2)设AC=,sin2A+sin2B=sin2C,求△ABC的面积.
参考答案:
(1)∵p⊥q,
∴(cosA+sinA)(cosA-sinA)+(2-2sinA)(1+sinA)=0,
∴sin2A=.而A为锐角,所以sinA=?A=.
(2)由正弦定理得a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形,且∠C=.
∴BC=AC×tan=×=3.
∴S△ABC=AC·BC=××3=.
19. 如图,在三棱锥S﹣ABC中,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=SA=SC,M为AB的中点.
(Ⅰ)证明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求点B到平面SCM的距离.
参考答案:
【考点】点、线、面间的距离计算;空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】数形结合;综合法;空间角.
【分析】(Ⅰ)先证明线面垂直,从而证明出线线垂直;
(Ⅱ)求出SE的长,得到三角形BMC的面积,从而求出B到平面SCM的距离.
【解答】(Ⅰ)证明:如图,取AC的中点D,连接DS,DB.
因为SA=SC,BA=BC,
所以AC⊥DS,且AC⊥DB,DS∩DB=D,
所以AC⊥平面SDB,又SB?平面SDB,所以AC⊥SB.…(6分)
(Ⅱ)解:因为SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,
所以SD⊥平面ABC.
如图4,过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM…(8分)
所以在Rt△SDE中,SD=1,,∴,CM是边长为2的正△ABC的中线,
∴,∴,
.…(10分)
设点B到平面SCM的距离为h,
则由VB﹣SCM=VS﹣BCM得,
所以.…(12分)
【点评】本题考查了空间位置关系及距离,考查线线垂直、线面垂直问题,是一道中档题.
20. 已知函数,, 为自然对数的底数.
(1)若,,证明:当时,恒成立;
(2)若,,f(x)在(0,+∞)上存在两个极值点,求a的取值范围.
参考答案:
(1)详见解析;(2).
【分析】
(1)根据导函数求出函数的单调性得函数的最值,即可得证;
(2)求出导函数,将问题转化为讨论的零点问题.
【详解】解:(1)由题知, ,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
所以,当时,,命题得证;
(2)由题知:,,
所以与,在上正负同号,
当时,没有零点,在上没有极值点;
当时,令,则
当时,,在)上单调递减,
当时,,在上单调递增,
若,即,,在上没有极值点
若,即;因为,所以在上有1个零点;
由(1)知:所以,
所以在上也有1个零点;
所以,当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
当时,在上有两个极值点:;
所以
【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性,解决函数的最值问题,根据函数函数的极值点个数求参数的取值范围,涉及转化与化归思想.
21. 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表.
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
(1)画出茎叶图
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差,并判断选谁参加比赛更合适.
参考答案:
解:(1)画茎叶图,中间数为数据的十位数(4分)
(2):=33,=33;=3.96,=3.56;甲的中位数是33,乙的中位数是35. 综合比较选乙参加比赛较为合适.(8分)
22. (本小题12分)类比平面直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,并证明.
参考答案:
(课本例4)
猜想四面体有三个“直角面”和一个斜面s,类比勾股定理有6分
证明略.
略