2023年湖南省常德市汉寿县百禄桥联校高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆半径为1,则该几何体体积为 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
2. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为5的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷1000个点,已知恰有400个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是( )
A.2 B.3 C.10 D.15
参考答案:
C
正方形面积为25,由几何概型知阴影部分的面积为:,故选C.
3. 2017年国庆期间,全国接待国内游客7.05亿人次,其中某30个景区日均实际接待人数与最大接待人数比值依次记为,若该比值超过1,则称该景区“爆满”,否则称为“不爆满”,则如图所示的程序框图的功能是( )
A.求30个景区的爆满率 B.求30个景区的不爆满率
C.求30个景区的爆满数 D.求30个景区的不爆满数
参考答案:
B
4. 已知数列中,,,为其前项和,则的值为( )
A.57 B.61 C.62 D.63
参考答案:
A.
试题分析:∵,∴是首项为,公比为的等比数列,
∴,∴,∴,故选A.
考点:数列的通项公式.
5. 若向量则=
A.(-2,-4) B.(3.4) C.(6,10) D.(-6.-10)
参考答案:
6. 设函数f(x)=x(lnx﹣ax)(a∈R)在区间(0,2)上有两个极值点,则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【考点】6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】方法一:求导f′(x)=lnx﹣2ax+1,由关于x的方程a=在区间(0,+∞)由两个不相等的实根,构造辅助函数,根据函数单调性即可求得a取值范围;
方法二:由题意,关于x的方程2ax=lnx+1在区间(0,2)由两个不相等的实根,则y=2ax与y=lnx+1有两个交点,根据导数的几何意义,即可求得a的取值范围.
【解答】解:方法一:f(x)=x(lnx﹣ax),求导f′(x)=lnx﹣2ax+1,
由题意,关于x的方程a=在区间(0,+∞)由两个不相等的实根,
令h(x)=,h′(x)=﹣,
当x∈(0,1)时,h(x)单调递增,当x∈(1,+∞)单调递减,
当x→+∞时,h(x)→0,
由图象可知:函数f(x)=x(lnx﹣ax),在(0,2)上由两个极值,
只需<a<,
故D.
方法二:f(x)=x(lnx﹣ax),求导f′(x)=lnx﹣2ax+1,
由题意,关于x的方程2ax=lnx+1在区间(0,2)由两个不相等的实根,
则y=2ax与y=lnx+1有两个交点,
由直线y=lnx+1,求导y′=,
设切点(x0,y0),=,解得:x0=1,
∴切线的斜率k=1,
则2a=1,a=,
则当x=2,则直线斜率k=,
则a=,
∴a的取值范围(,),
故选D.
7. 如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )
A.4 B. 8 C. 16 D.20
参考答案:
C
略
8. 函数 ,若在区间上是单调函数,且,则的值为( )
A. B.或2 C. D.1或
参考答案:
B
因为在单调,∴,即,而;若,则;若,则是的一条对称轴,是其相邻的对称中心,所以,∴.
9. 已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是( )
A.[0,] B.(0,) C.[0,] D.(0,)
参考答案:
D
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解,则函数f(x)的图象与直线y=x+m有三个交点,数形结合可得答案.
【解答】解:函数的图象如下图所示:
若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解,
则函数f(x)的图象与直线y=x+m有三个交点,
当直线y=x+m经过原点时,m=0,
由y=﹣x2+2x的导数y′=﹣2x+2=得:x=,
当直线y=x+m与y=﹣x2+2x相切时,切点坐标为:(,),
当直线y=x+m经过(,)时,m=,
故m∈(0,),
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,数形结合思想,难度中档.
10. 集合A={-1,0,4},集合B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是( )
A.{4} B.{4,-1}
C.{4,5} D.{-1,0}
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集是________________.
参考答案:
12. 已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为,直线与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点为(2,2),在直线的方程是 .
参考答案:
13. 已知向量,满足=(1,),||=1,且+λ=,则λ= .
参考答案:
±2
【考点】平面向量的坐标运算.
【分析】由题意和向量的坐标运算求出的坐标,由向量模的坐标运算列出方程求出λ的值.
【解答】解:因为,,
所以==,
又,则,
解得λ=±2,
故答案为:±2.
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算,以及向量模的坐标运算,属于基础题.
14. 设、,且,若定义在区间内的函数是奇函数,则的取值范围是________________.
参考答案:
因为函数是奇函数,所以,即,所以,即,所以,所以,,即,由得,所以,所以,所以,即,所以的取值范围是。
15. 不等式的解集为____________.
参考答案:
【知识点】不等式的解法.E4
【答案解析】{x|x<-1或x>2}解析:原不等式等价于设,则在R上单调增.所以,原不等式等价于
所以原不等式解集为{x|x<-1或x>2}
【思路点拨】利用函数的单调性转化为等价命题,得到结果。
16. 已知点A(1,﹣2)若向量与=(2,3)同向,||=,则点B的坐标为 .
参考答案:
(3,1)
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】平面向量及应用.
【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可得出.
【解答】解:设B(x,y),
=(x﹣1,y+2).
∵向量与=(2,3)同向,
∴3(x﹣1)﹣2(y+2)=0,
∵||=,
∴=.
化为(x﹣1)2+(y+2)2=13,
联立,
解得,.
当时,向量与=(2,3)反向,
∴B(3,1).
故答案为:(3,1).
【点评】本题考查了向量共线定理、模的计算公式,属于基础题.
17. 已知
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.
如图,多面体的直观图及三视图如图所示,E、F分别为PC、BD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PDC⊥平面PAD.
(3)求
参考答案:
证明:由多面体的三视图知,四棱锥的底面是边长为的正方形,侧面是等腰三角形,,
且平面平面.……3分
(1)连结,则是的中点,
在△中,,
且平面,平面,
∴∥平面 ………6分
(2) 因为平面⊥平面,
平面∩平面,CD 平面ABCD,
又⊥,所以,⊥平面,
又CD平面PCD,
所以 平面⊥平面 ………………9分
(3) 由(1)知点P到平面ABCD的距离为1,
则(体积单位) ………………12分
19. (本小题满分13分)已知函数在处有极大值7.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)求在=1处的切线方程.
参考答案:
解:(Ⅰ), …………1分
…………2分
, …………3分
∴. …………4分
(Ⅱ)∵,由得 解得或 …………5分
由得,解得 …………6分
∴的单调增区间为, …………7分
的单调减区间为. …………8分
(Ⅲ) ∵又∵f(1)=-13 …………9分
∴切线方程为
20. (本题满分13分)已知直线与抛物线相交于,两点,且与圆相切.
(Ⅰ)求直线在轴上截距的取值范围;
(Ⅱ)设是抛物线的焦点,且,求直线的方程.
参考答案:
(Ⅰ)解:设直线的方程为.由直线与圆相切,
得 ,化简得. (2分)
直线的方程代入,消去,得 .(*) (3分)
由直线与抛物线相交于,两点,得,即 .
将代入上式,得.解得,或. (5分)
注意到,从而有 ,或. (6分)
(Ⅱ)解:设,.由(*)得,.
所以 . 将,代入上式,得
. (10分)
将,代入上式,令,得.
所以 ,即 . 解得 , (舍去).
故 .
所以直线的方程为,或. (13分)
21. 设A,B分别是x轴,y轴上的两个动点,点R在直线AB上,且,。
(1)求点R的轨迹C的方程;
(2)设点M(-2,0),N(2,0),过点F(1,0)的直线与曲线C交于P,Q两点(P在x轴上方),若MP与NQ的斜率分别为k1,k2,试判断是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.
参考答案:
(1)设,,
由知,………………………………………1分
从而,即,① ……………………………………2分
由知,②
联立①②可得,即为点的轨迹的方程;……………………………5分
(2)设直线方程为,且,
联立可得,
从而,,…………………………………………8分
于是, ………………………………………………10分
又,
故为定值。 ………………………………………………12分
22. (2016?晋城二模)已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e=,椭圆的右焦点F(c,0),椭圆的右顶点为A,上顶点为B,原点到直线AB的距离为.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)判断在x轴上是否存在异于F的一点G,满足过点G且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于M、N两点,P是点M关于x轴的对称点,N、F、P三点共线,若存在,求出点G坐标;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(I)运用离心率公式和点到直线的距离公式,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)在x轴上假设存在异于F的一点G,设为(n,0),设直线l的方程为y=k(x﹣n),代入椭圆方程x2+2y2=2,运用韦达定理,以及三点共线的条件:斜率相等,化简整理,可得n=2,进而判断存在G(2,0).
【解答】解:(I)由题意可得e==,
直线AB的方程为bx+ay=ab,
由题意可得