2023年江西省宜春市温泉中学高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,实数a、b、c满足<0,且
0<a<b<c,若实数是函数的一个零点,那么下列不等式中,不可能成立的是
A.<a B.>b C.<c D.>c
参考答案:
D
略
2. 下列有关命题说法正确的是
A.命题”
B.“”是“”的必要不充分条件
C.命题“”的否定是:“
D.“”是“在上为增函数”的充要条件
参考答案:
3. 已知函数,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有30人,则n的值为
A.100 B.1000 C.90 D.900
参考答案:
A
略
5. 方程表示的曲线是
A. 一个圆和一条直线 B. 一个圆和一条射线
C. 一个圆 D. 一条直线
参考答案:
D
6. 若方程的根在区间上,则的值为( )
A. B.1 C.或2 D. 或1
参考答案:
D
7. 给定两个命题,的必要而不充分条件,则
的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
8. 如果执行如面的程序框图,那么输出的S=( )
A.119 B.719 C.4949 D.600
参考答案:
B
【考点】循环结构.
【专题】图表型.
【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数,然后根据运行的后s的值找出规律,从而得出所求.
【解答】解:根据题意可知该循环体运行 5次
第一次:T=1,s=1,k=2;
第二次:T=2,s=5,k=3;
第三次:T=6,s=23,k=4;
第四次:T=24,s=119,k=5;
第五次:T=120,s=719,k=6;
因为k=6>5,结束循环,输出结果s=719.
故选B.
【点评】本题考查循环结构.解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律.
9. 已知函数的定义域为{0,1,2},那么该函数的值域为 ( )
A.{0,1,2} B.{0,2} C. D.
参考答案:
B
10. 设是三条不同直线,,,是三个不同平面,则下列命题正确题是( )
①若,,则;
②若异面,,,,,则;
③若,,,且,则;
④若为异面直线,,,,,则.
(A) ①②④ (B) ②④ (C) ②③④ (D) ③④
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)曲线C:y=xex在点M(1,e)处的切线方程为 .
参考答案:
y=2ex﹣e
【考点】: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】: 导数的概念及应用.
【分析】: 求出函数的导数,利用导数的几何意义即可得到结论.
解:函数的f(x)的导数f′(x)=(1+x)ex,
则曲线在(1,e)处的切线斜率k=f′(1)=2e,
则对应的切线方程为y﹣e=2e(x﹣1),
即y=2ex﹣e.
故答案为:y=2ex﹣e
【点评】: 本题主要考查曲线切线的求解,根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键.
12. 秦九韶是我国古代的数学家,他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就.秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法,其大大简化了计算过程,即使在现代,利用计算机解决多项式的求值问题时,秦九韶算法依然是最优的算法,在西方被称作霍纳算法.
.
改写成以下形式:
若,则_________.
参考答案:
0
【分析】
利用霍纳算法依次计算,,在处的取值,由此可得出,从而得出结果.
【详解】由霍纳算法可知,当时,,
,
因此,.
故答案为:.
【点睛】本题考查算法思想的应用,解题的关键就是利用题中的算法逐一计算,考查计算能力,属于中等题.
13. 计算_____________________.
参考答案:
-20
14. 设函数是奇函数的充要条件是a= .
参考答案:
1
15. 某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人,如果这4名应聘者被录用的机会均等,则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是___________.
参考答案:
略
16. 设x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为________.
参考答案:
5
17. 表示一个两位数,记f(n)=a+b+a×b,如f(12)=1+2+1×2=5,则满足f(n)=n的两位数共有 个.
参考答案:
9
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【分析】由题意,ab+a+b=10a+b,b=9,a取1到9,即可得出结论.
【解答】解:由题意,ab+a+b=10a+b,b=9,a取1到9,共9个.
故答案为:9.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分16分)已知函数.
(1)若函数为偶函数,求的值;
(2)若,求函数的单调递增区间;
(3)当时,若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
【知识点】函数恒成立问题.B12
【答案解析】(1)a=0;(2)(﹣∞,﹣1]和(3)
解析:(1)解法一:因为函数f(x)=﹣x2+2|x﹣a|
又函数y=f(x)为偶函数,
所以任取x∈R,则f(﹣x)=f(x)恒成立,
即﹣(﹣x)2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立.…(3分)
所以|x﹣a|=|x+a|恒成立,
两边平方得:x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2
所以4ax=0,因为x为任意实数,所以a=0…(5分)
解法二(特殊值法):因为函数y=f(x)为偶函数,
所以f(﹣1)=f(1),得|1﹣a|=|1+a|,得:a=0
所以f(x)=﹣x2+2|x|,
故有f(﹣x)=f(x),即f(x)为偶函数…(5分)
(2)若,则.…(8分)
由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知,函数的单调递增区间为(﹣∞,﹣1]和…(10分)
(3)不等式f(x﹣1)≥2f(x)化为﹣(x﹣1)2+2|x﹣1﹣a|≥﹣2x2+4|x﹣a|,
即:4|x﹣a|﹣2|x﹣(1+a)|≤x2+2x﹣1(*)
对任意的x∈[0,+∞)恒成立.
因为a>0.所以分如下情况讨论:
①0≤x≤a时,不等式(*)化为﹣4(x﹣a)+2[x﹣(1+a)]≤x2+2x﹣1,
即x2+4x+1﹣2a≥0对任意的x∈[0,a]恒成立,
因为函数g(x)=x2+4x+1﹣2a在区间[0,a]上单调递增,
则g(0)最小,所以只需g(0)≥0即可,得,
又a>0所以…(12分)
②a<x≤1+a时,不等式(*)化为4(x﹣a)+2[x﹣(1+a)]≤x2+2x﹣1,
即x2﹣4x+1+6a≥0对任意的x∈(a,1+a]恒成立,
由①,,知:函数h(x)=x2﹣4x+1+6a在区间(a,1+a]上单调递减,
则只需h(1+a)≥0即可,即a2+4a﹣2≥0,得或.
因为所以,由①得.…(14分)
③x>1+a时,不等式(*)化为4(x﹣a)﹣2[x﹣(1+a)]≤x2+2x﹣1,
即x2+2x﹣3≥0对任意的
x∈(a+1,+∞)恒成立,
因为函数φ(x)=x2+2x﹣3在区间(a+1,+∞)上单调递增,
则只需φ(a+1)≥0即可,
即a2+4a﹣2≥0,得或,由②得.
综上所述得,a的取值范围是.…(16分)
【思路点拨】(1)因为函数y=f(x)为偶函数,所以可由定义得f(﹣x)=f(x)恒成立,然后化简可得a=0;也可取特殊值令x=1,得f(﹣1)=f(1),化简即可,但必须检验.
(2)分x≥,x,将绝对值去掉,注意结合图象的对称轴和区间的关系,写出单调增区间,注意之间用“和”.(3)先整理f(x﹣1)≥2f(x)的表达式,有绝对值的放到左边,然后分①0≤x≤a②a<x≤1+a③x>1+a讨论,首先去掉绝对值,然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题,利用函数的单调性求出最值,从而求出a的范围,最后求它们的交集.
19. (本题满分12分)已知函数.
(Ⅰ)若在处取得极值,求a的值;
(Ⅱ)求函数在上的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)∵,
∴函数的定义域为.
∴.
∵在处取得极值,
即,
∴.
当时,在内,在内,
∴是函数的极小值点. ∴.…………………(6分)
(Ⅱ)∵,∴.
∵ x∈, ∴,
∴在上递增;在上递减,
①当时,在单调递增,
∴;
②当,即时,在单调递增,在单调递减,
∴;
③当,即时,在单调递减,
∴.……………………………(12分)
20. (本小题满分12分)等比数列的各项均为正数,且
(1)求数列的通项公式.
(2)设 求数列的前项和.
参考答案:
(1)设数列的公比为,则由
,····························4分
····························6分
(2)∵
∴····························9分
∴所以,数列的前项和为
····················12分
21. (12分)已知函数
(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数在=1处取得极值,对?∈(0,+∞),≥恒成立,求实数b的取值范围;
(3)当>>e﹣1时,求证:.
参考答案:
(Ⅰ),
当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
函数f(x)在(0,+∞)单调递减,
∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点;
当a>0时,f'(x)<0得,f'(x)>0得,
∴f(x)在上递减,在上递增,
即f(x)在处有极小值.
∴当a≤0时f(x)在(0,+∞)上没有极值点,
当a>0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.…………………………………4分
(注:分类讨论少一个扣一分.)
(Ⅱ)∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴a=1,……………………………………5分
∴,…(6分)
令,可得g(x)在(0,e2]上递减,在[e2,+∞)上递增,
∴,即.……………………………………8分
(Ⅲ)证明:,
令,
则只要证明g(x)在(e﹣1,+∞)上单调递增,………………………………………10分
又∵,
显然函数在(e﹣1,+∞)上单调递增.
∴,即g'(x)>0,
∴g(x)在(e﹣1,+∞)上单调递增,
即,
∴当x>y>e﹣1时,有.………………………………12