2023年辽宁省鞍山市衡业中学高一数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若α,β∈(0,),cos(α-,sin(-β)=-,则cos(α+β)的值等于 ( )
参考答案:
B
略
2. 若直线与直线平行,则m的值为( )
A. B. C.-6 D.6
参考答案:
D
3. 若且,则的终边在( )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
C
4. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( )
A.球, B.三棱锥, C.正方体, D.圆柱
参考答案:
C
球的三视图都是大圆,故A正确;如图:
这样的三个角都为直角的棱锥的三视图都是等腰直角三角形;故B正确;正方体的三视图都是正方形,故C正确;圆柱的俯视图是圆,正视图,侧视图都是长方形,故D错.
5. 过点的直线,将圆形区域分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
6. 的值为( )
A. B. C.D.
参考答案:
B
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】利用三角恒等变换化简所给的式子,可得结果.
【解答】解: ===,
故选:B.
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,属于基础题.
7. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】异面直线及其所成的角.
【专题】计算题;转化思想;向量法;空间角.
【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,
则A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C(0,1,0),
=(0,1,﹣1),=(1,0,1),=(0,1,0),
设平面A1B1CD的法向量=(x,y,z),
则,取x=1,则=(1,0,﹣1),
设直线A1B和平面A1B1CD所成的角为θ,
sinθ===,
∴θ=,
∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为.
故选:B.
【点评】本题考查线面角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
8. 下列各式正确的是( )
. .
. .
参考答案:
D
略
9. 已知lga+lgb=0,函数的图象可能是( )
参考答案:
B
10. 已知函数有反函数,则方程 ( )
A.有且仅有一个根 B.至多有一个根
C.至少有一个根 D.以上结论都不对
参考答案:
B 解析:可以有一个实数根,例如,也可以没有实数根,
例如
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列各组函数表示相同函数的是__________.
(1) (2) (3)
(4) (5)
参考答案:
(4)
12. 不等式的解集为,则实数的取值范围为 .
参考答案:
略
13. 如图,二面角的大小是60°,线段在平面EFGH上,在EF上,与EF所成的角为30°,则与平面所成的角的正弦值是
参考答案:
略
14. 已知函数,则的取值范围是____
参考答案:
【分析】
分类讨论,去掉绝对值,利用函数的单调性,求得函数各段上的取值,进而得到函数的取值范围,得到答案.
【详解】由题意,当时,函数,此时函数为单调递减函数,
所以最大值为,此时函数的取值
当时,函数,此时函数为单调递减函数,
所以最大值为,最小值,所以函数的取值为
当时,函数,此时函数为单调递增函数,
所以最大值为,此时函数的取值,
综上可知,函数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了分段函数的值域问题,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,利用函数的单调性求得各段上的值域是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
15. 长方体中,,,,是棱上一动点,
则的最小值为
参考答案:
16. 已知tan(θ-π)=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ+3的值为 .
参考答案:
17. 已知, 则f (x)= 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分) 如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,
F是BE的中点,
求证:(1) FD∥平面ABC;
(2) AF⊥平面EDB.
参考答案:
(12分)证明:(1)取AB的中点M,连FM,MC,
∵ F、M分别是BE、BA的中点
∴ FM∥EA, FM=EA
∵ EA、CD都垂直于平面ABC ∴ CD∥EA∴ CD∥FM
又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD是平行四边形
∴ FD∥MC
FD∥平面ABC················6
(2) 因M是AB的中点,△ABC是正三角形,所以CM⊥AB
又 CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF,
因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.··················12
略
19. 解方程
(1)=
(2)log4(3﹣x)=log4(2x+1)+log4(3+x)
参考答案:
【考点】函数的零点与方程根的关系;对数的运算性质.
【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】(1)直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可.
(2)利用对数运算法则,化简求解方程的解即可.
【解答】解:(1)=,可得x2﹣3x=﹣2,
解得x=2或x=1;
(2)log4(3﹣x)=log4(2x+1)+log4(3+x),
可得log4(3﹣x)=log4(2x+1)(3+x),
∴3﹣x=(2x+1)(3+x),
得x=﹣4或x=0,经检验x=0为所求.
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数方程的解法,考查计算能力.
20. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,
且满足
(1)证明:成等差数列且B≤;
(2)求函数的最大值.
参考答案:
解:(1)
成等差数列
由余弦定理,得.
因为,.
由0<B<π,得B≤
(2)
B≤
略
21. 已知函数f(x)=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值.
参考答案:
【考点】函数单调性的性质;函数的值域.
【分析】函数f(x)=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2在区间[0,2]上有最小值3,对函数进行配方,对对称轴是否在区间内进行讨论,从而可知函数在何处取得最小值,解出相应的a的值.
【解答】解:函数f(x)的对称轴为
①当即a≤0时fmin(x)=f(0)=a2﹣2a+2=3解得a=1±
a≤0∴
②当0<<2即0<a<4时解得
∵0<a<4故不合题意
③当即a≥4时fmin(x)=f(2)=a2﹣10a+18=3解得
∴a≥4∴
综上:或
22. (本小题14分) 且满足求:
(1)函数的解析式;
(2)函数的最小值及相应的的值.
参考答案:
解:
略