2023年吉林省长春市市育成中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,已知A,B两点分别在河的两岸,某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得m,
,,则A、B两点的距离为
A.m B.m
C.m D.m
参考答案:
D
2. 已知方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m的取值范围是( )
A.m≤﹣2 B.m≤﹣4 C.m>﹣5 D.﹣5<m≤﹣4
参考答案:
D
【考点】二次函数的性质.
【专题】计算题.
【分析】由方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,根据实数的性质,由韦达定理(一元二次方程根与系数的关系)可得,x1+x2>0,x1?x2>0,进而构造出m的不等式组,解不等式组,即可求出实数m的取值范围.
【解答】解:若方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个正根x1,x2,
由韦达定理(一元二次方程根与系数的关系)可得:
x1+x2=﹣(m+2)>0,x1?x2=m+5>0
解得:﹣5<m<﹣2,
又由△>0得,
m<﹣4,或m>4,
故:﹣5<m<﹣4
故选D
【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质,一元二次方程根与系数的关系,其中由韦达定理(一元二次方程根与系数的关系)结合已知,构造出关于m的不等式组,是解答本题的关键.
3. 进入互联网时代,经常发送电子邮件,一般而言,发送电子邮件要分成以下几个步骤:A.打开电子邮件;(b)输入发送地址;(c)输入主题;(d)输入信件内容;(e)点击“写邮件”;(f)点击“发送邮件”;正确的步骤是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
4. 的展开式中的系数是 ( )
A.6 B.12 C.24 D.48
参考答案:
C
,令
的系数为.故选.
5. 已知全集,,,则集合等于( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
6. 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最小值是( )
A. B. C. D.2
参考答案:
C
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】设|AF|=a、|BF|=b,由抛物线定义结合梯形的中位线定理,得2|MN|=a+b.再由勾股定理得|AB|2=a2+b2,结合基本不等式求得|AB|的范围,从而可得的最小值.
【解答】解:设|AF|=a,|BF|=b,A、B在准线上的射影点分别为Q、P,连接AQ、BQ
由抛物线定义,得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,
在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由勾股定理得|AB|2=a2+b2,整理得:|AB|2=(a+b)2﹣2ab,
又∵ab≤() 2,
∴(a+b)2﹣2ab≥(a+b)2﹣2×() 2=(a+b)2,
则|AB|≥(a+b).
∴≥=,即的最小值为.
故选C.
7. 设、是两个不同的平面,、为两条不同的直线,命题:若平面∥,,,则∥;命题:∥,⊥,,则⊥,则下列命题为真命题的是 ( )
A.或 B.且 C.或 D.且
参考答案:
C
略
8. 已知全集,则正确表示集合和关系的韦恩(Venn)图是
参考答案:
B
9. 描金又称泥金画漆,是一种传统工艺美术技艺. 起源于战国时期,在漆器表面,用金色描绘花纹的装饰方法,常以黑漆作底,也有少数以朱漆为底. 描金工作分为两道工序,第一道工序是上漆,第二道工序是描绘花纹. 现甲、乙两位工匠要完成A,B,C三件原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描绘花纹. 每道工序所需的时间(单位:小时)如下:
原料
时间
工序
原料A
原料B
原料C
上漆
9
16
10
描绘花纹
15
8
14
则完成这三件原料的描金工作最少需要
A.43小时 B.46小时 C.47小时 D.49小时
参考答案:
B
10. 已知复数(其中i是虚数单位),则|z|=( )
A. B. C. 1 D. 2
参考答案:
A
【分析】
利用复数模长的性质即可求解.
【详解】复数,
,
故选:A.
【点睛】本题考查求复数的模,涉及到复数的除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若存在正数x,使2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是 .
参考答案:
a>﹣1
【考点】函数的最值及其几何意义.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由不等式将参数a进行分离,利用函数的单调性进行求解.
【解答】解:由2x(x﹣a)<1,得x?2x﹣a?2x<1,
∴,
设,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴当x>0时,
f(x)>f(0)=﹣1,
∴若存在正数x,使2x(x﹣a)<1成立,
则a>﹣1.
故答案为:a>﹣1.
【点评】本题主要考查函数的单调性的应用,将参数分离是解决本题的关键,利用函数的单调性是本题的突破点,考查学生的转化能力,综合性较强.
12. 已知= .
参考答案:
略
13. 已知向量满足,且,,则与的夹角为____________
参考答案:
14. 函数f(x)=sin2的最小正周期是________.
参考答案:
15. 已知数列{an}是各项均不为零的等差数列,Sn为其前n项和,且(n∈N*).若不等式对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是 .
参考答案:
[﹣3,0]
【考点】数列与函数的综合.
【分析】利用已知条件,结合等差数列的性质,,得到an=2n﹣1,n∈N*,然后①当n为奇数时,利用函数的单调性以及最值求解λ≥﹣3,②当n为偶数时,分离变量,通过函数的单调性以及最值求解 λ≤0,然后推出实数λ的取值范围.
【解答】解:,
?an=2n﹣1,n∈N*?
①当n为奇数时,,
是关于n(n∈N*)的增函数.
所以n=1时f(n)最小值为f(1)=2﹣2+3=3,这时﹣λ≤3,λ≥﹣3,
②当n为偶数时,恒成立,
n为偶数时,是增函数,当n=2时,g(n)最小值为g(2)=4+1﹣5=0,
这时 λ≤0综上①、②实数λ的取值范围是[﹣3,0].
故答案为:[﹣3,0].
【点评】本题考查数列的应用,数列的递推关系式以及数列的函数的特征,考查函数的单调性以及最值的求法,考查分析问题解决问题的能力.
16. 已知函数 , ,给出下列结论:
①函数的值域为;
②函数在[0,1]上是增函数;
③对任意,方程在[0,1]内恒有解;
④若存在,使得成立,则实数a的取值范围是.
其中所有正确结论的番号是__________.
参考答案:
①②④
17. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C,以线段AC,BC为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32 cm2的概率为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)如图9-13,P是抛物线C:y=x2上—点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
(I)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点 M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围.
参考答案:
∵M为PQ的中点,
∵y1、y2可取一切不相等的正数,
∴ 的取值范围是(2,+∞).
方法二:∴
当b>0时,=|b|+2>2;
当b<0时, =-b
又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2= 4k2(k2+2b)>0.
于是k2+2b>0,即k2>-2b.
所以
可取一切不等于l的正数,的取值范围是(2,+∞).
19. 如图,三棱锥P-ABC中,底面ABC,是正三角形,AB=4,PA=3,M是AB的中点. (1)求证:平面PAB;
(2)设二面角A-PB-C的大小为,求的值.
参考答案:
解:(1)因为底面,所以.
因为△是正三角形,是的中点,所以.
所以,平面.
(2)(几何法)
作于,连,则.
所以,是二面角的平面角.
因为,,所以,.
从而,故. ┅15分
(向量法)
以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图.
平面的一个法向量.
,.
设是平面的法向量,
则,取法向量.
故.
略
20. 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
参考答案:
(1)由得,
从而的直角坐标方程为
,即
时,,所以,
时,,所以.
(2)点的直角坐标为,点的直角坐标为,
所以点的直角坐标为,则点的极坐标为,
所以直线的极坐标方程为.
21. 在中,角的对边分别为,且,
(1)求的面积;
(2)若,求的周长.
参考答案:
(1)∵,∴,
即,
∴;
(2)∵,
∴
由题意,
∴,
∵,∴,
∴
∵,∴.
∴的周长为.
22. 已知函数
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,若在区间上的最小值为,求的取值范围;
(Ⅲ)若对任意,恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
解:(Ⅰ)当时,.………………2分
因为. 所以切线方程是 ………………4分
(Ⅱ)函数的定义域是. ………………5分
当时,
令,即,[]
所以或. ……………………7分
当,即时,在[1,e]上单调递增,
所以在[1,e]上的最小值是;
当时,在[1,e]上的最小值是,不合题意;
当时,在(1,e)上单调递减,
所以在[1,e]上的最小值是,不合题意………………9分
(Ⅲ)设,则,
依题意, 只要在上单调递增即可。…………………………10分
而
当时,,此时在上单调递增;……………………11分
当时,只需在上恒成立,
因为,只要,则需要,………………………………12分
对于函数,过定点(0,1),对称轴,只需,
即. 综上. ……………………………14分
略