2022年辽宁省沈阳市红菱学校高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知抛物线C: ,过焦点F且斜率为的直线与C相交于P、Q两点,且P、Q两点在准线上的投影分别为M、N两点,则S△MFN=( )
A. 8 B. C. D.
参考答案:
B
过焦点F且斜率为 的直线方程为,与联列方程组解得,从而,选B.
2. 设函数,若对于任意xR,都有成立,则|x1-x2|的最小值为( )
A.4 B.2 C.1 D.
参考答案:
B
略
3. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
利用诱导公式,以及二倍角公式,即得解.
【详解】由诱导公式:,
再由二倍角公式:
故选:B
【点睛】本题考查了诱导公式,二倍角公式综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于基础题.
4. 复数z与复数i(2﹣i)互为共轭复数(其中i为虚数单位),则z=( )
A.1﹣2i B.1+2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i
参考答案:
A
【考点】复数的基本概念.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简i(2﹣i),再由共轭复数的概念得答案.
【解答】解:∵i(2﹣i)=1+2i,
又复数z与复数i(2﹣i)互为共轭复数,
∴z=1﹣2i.
故选:A.
5. 设定义在R上的函数,满足,为奇函数,且,则不等式的解集为( )
A.(1,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
D
6. 已知集合A={x|x2﹣a2≤0,其中a>0},B={x|x2﹣3x﹣4>0},且A∪B=R,则实数a的取值范围是( )
A.a≥4 B.a≥﹣4 C.a≤4 D.1≤a≤4
参考答案:
A
考点: 并集及其运算.
专题: 集合.
分析: 求出集合A,B,利用条件A∪B=R,确定a满足的条件即可.
解答: 解:A={x|x2﹣a2≤0,其中a>0}={x|﹣a≤x≤a},B={x|x2﹣3x﹣4>0}={x|x>4或x<﹣1},
若A∪B=R,则,即,
解得a≥4,
故选:A.
点评: 本题主要考查集合的基本运算,利用条件A∪B=R,确定两个集合关系是解决本题的关键.
7. 已知函数且,为其反函数,若,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
8. 若△ABC顶点B, C的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC, AB边上的中线长之和为30,则△ABC
的重心G的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
9. 已知集合,则( )
参考答案:
D
10. 是函数的零点,,则
① ② ③ ④
其中正确的命题为
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平行四边形中,已知,,,为的中点,则 .
参考答案:
12. 如果直线y = x+a与圆有公共点,则实数的取值范围是 。
参考答案:
–≤a≤
13. 已知等差数列{an}前n项和为Sn. 若m>1, m∈N且 , 则m等于____________.
参考答案:
10
14. 设函数对任意不等式恒成立,则正数的取值范围是 .
参考答案:
15. 某科技小组有6名同学,现从中选出3人参观展览,至少有1名女生入选的概率为,则小组中女生人数为
参考答案:
2
16. 已知抛物线的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且,若点A,B在l上的投影分别为M,N,则△MFN的内切圆半径为
参考答案:
【分析】
先根据可得,直线垂直于x轴,确定△MFN的形状,然后可求其内切圆半径.
【详解】抛物线的焦点为,因为,所以直线垂直于x轴,所以,所以,,因为,所以△MFN为直角三角形,且,设其内切圆半径为,则有,解得.
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,内切圆的问题一般是通过面积相等来求解,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
17. 已知函数的导函数,则 .
参考答案:
1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=xlnx﹣ax2是减函数.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:对任意n∈N,n>1,都有++…+>.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)求得f(x)的导数,由题意可得f′(x)≤0在x>0恒成立,由参数分离和构造函数,求出导数和单调区间,可得最大值,即可得到a的范围;
(Ⅱ)设h(x)=xlnx﹣x2,求出导数,判断单调性,可得x≥2时,xlnx<x2﹣,即>,则n≥2时,>=﹣,再由裂项相消求和,化简整理,即可得证.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=xlnx﹣ax2的导数为f′(x)=1+lnx﹣2ax,
函数f(x)=xlnx﹣ax2是减函数,可得f′(x)≤0在x>0恒成立,
即为2a≥在x>0恒成立,
设g(x)=,g′(x)=,
当0<x<1时,g′(x)>0,g(x)递增;
当x>1时,g′(x)<0,g(x)递减.
可得g(x)在x=1处取得极大值,且为最大值1.
则2a≥1,解得a≥;
(Ⅱ)证明:设h(x)=xlnx﹣x2,
h′(x)=1+lnx﹣x,h″(x)=﹣1,
当x>1时,h″(x)<0,h′(x)<h′(1)=0,
h(x)在(1,+∞)递减,即有h(x)<h(1)=﹣,
即x>1时,xlnx﹣x2<﹣,
x≥2时,xlnx<x2﹣,
即>,
则n≥2时,>=﹣,
即有++…+>1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣
=1+﹣﹣=.
故对任意n∈N,n>1,都有++…+>.
19. 已知函数f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边,角A是锐角,f(A)=0,a=1,b+c=2,求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象;正弦定理.
【分析】(Ⅰ)由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2ωx+),利用周期公式可求ω,可得函数解析式,进而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,(k∈Z),可得f(x)的单调递增区间.
(Ⅱ)由,又角A是锐角,可求A的值,利用余弦定理可求bc=1,根据三角形面积公式即可计算得解.
【解答】(本题满分为12分)
解:(Ⅰ) =,…
∴T==π,从而可求ω=1,…
∴f(x)=sin(2x+)…
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,(k∈Z),可得:,
所以f(x)的单调递增区间为:.…
(Ⅱ)∵f(A)=0,
∴,又角A是锐角,
∴,
∴,即.…
又a=1,b+c=2,
所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=(b+c)2﹣3bc,
∴1=4﹣3bc,
∴bc=1.…
∴.…
20. 在中,满足:,是的中点.
(1)若,求向量与向量的夹角的余弦值;
(2)若点是边上一点,,且,求的最小值.
参考答案:
略
21. 已知 且;
:集合,且.
若∨为真命题,∧为假命题,求实数的取值范围.
参考答案:
略
22. 参数方程选讲.
已知平面直角坐标系xoy.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为 ,曲线C的极坐标方程为 .
(I)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;
(Ⅱ)若Q为曲线c上的动点,求PQ中点M到直线 (t为参数)距离的最小值.
参考答案:
略