2023年广东省湛江市黎明中学高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在中,,则最短边的边长等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 在△ABC中,若3cos A+4cos B=6,4sin B 3sin A=1,则角C为( )
A.30° B. 60°或120° C.120° D. 60°
参考答案:
C
3. 定义集合A、B的一种运算:,若,,则中的所有元素数字之和为
A.9 B.14 C.18 D.21
参考答案:
B
4. 已知向量=(,),=(,),则∠ABC=( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
参考答案:
A
【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.
【分析】根据向量的坐标便可求出,及的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值,根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值.
【解答】解:,;
∴;
又0°≤∠ABC≤180°;
∴∠ABC=30°.
故选A.
5. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的B=
A. 4 B. 13 C. 40 D. 41
参考答案:
C
【分析】
运行程序,进行计算,当时退出循环,输出的值.
【详解】,;,;,;,.因为,所以输出.
【点睛】本小题主要考查程序框图,考查计算程序框图输出的结果.
6. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A. AC B. BD C. A1D D. A1D
参考答案:
B
7. 要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
参考答案:
C
【分析】
化简函数,然后根据三角函数图象变换知识选出答案.
【详解】依题意,故只需将函数的图象向左平移个单位.所以选C.
【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式,考查三角函数图象变换的知识,属于基础题.
8. 若,是夹角为60°的两个单位向量,则与的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
参考答案:
A
【分析】
根据条件可求出,,从而可求出,这样即可求出,根据向量夹角的范围即可求出夹角.
【详解】由题得;
,
,
所以;
;
又;
的夹角为.
故选:.
【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式,向量长度的求法,向量夹角的余弦公式,向量夹角的范围.
9. 若的内角满足,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示.则球的半径是( )
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 4 cm
参考答案:
C
【分析】
设出球的半径,根据题意得三个球的体积和水的体积之和,等于柱体的体积,结合体积公式求解即可.
【详解】设球半径为,则由,
可得,解得,故选C.
【点睛】本题主要考查了几何体的体积公式的应用,考查学生空间想象能力以及计算能力,是基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数y = log[ a x 2 + 2 x + ( a – 1 ) ]的值域是[ 0,+ ∞ ]),则参数a的值是 。
参考答案:
1 –
12. 如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若,则_____.
参考答案:
【分析】
利用,得到,再利用向量的内积运算求解即可
【详解】解:∵,
∴
又∵
∴
设,则
又∵
∴
显然,与的夹角是45°
又∵
又∵
∴
∴
同理,,
两边同时乘以,由数量积可得,
∴
【点睛】本题考查向量在几何中的应用,解题的难点在于找到向量之间的夹角,属于中档题
13. 已知集合A={x|x2+ax+1=0},若A∩R=?,则a的取值范围是: .
参考答案:
﹣2<a<2
【考点】空集的定义、性质及运算.
【专题】集合.
【分析】A∩R=?,可得A=?.利用△<0,解出即可.
【解答】解:∵A∩R=?,
∴A=?.
∴△=a2﹣4<0,
解得﹣2<a<2,
∴a的取值范围是﹣2<a<2,
故答案为:﹣2<a<2.
【点评】本题考查了集合的运算性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系,考查了推理能力,属于中档题.
14. 下面有四组函数,①,②,,③,④,,其中为相同函数的是 组.
参考答案:
1
【考点】判断两个函数是否为同一函数.
【专题】计算题.
【分析】对于第二和第三两组函数都是定义域不同,对于第一组函数两者的值域不同,只有最后一组函数中,两个函数是同一个函数.
【解答】解:对于第一组函数,前者的值域是[0,+∞),后者的值域是R,两个函数不是同一个函数,
对于第二组函数,两个函数的定义域不同,前者是(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞),
后者的定义域是[1,+∞),
对于第三组函数,前者的定义域是[1,+∞),后者的定义域是R,
第四组中两个函数是同一个函数,
故答案为:1.
【点评】本题考查判断两个函数是否为同一个函数,考查这种问题要从函数的三要素入手,先观察是不是定义域相同,不同的就不是同一个函数,因为这种原因而不是同一个函数的非常多.
15. 定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示,给出下列四个命题中:
(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解; (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解;
(3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解; (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。
那么,其中正确命题的是 .(写出所有正确命题的编号).
参考答案:
(1),(4)
略
16. 当且时,函数恒过定点 .
参考答案:
(2,3)
根据对数运算公式得到 ,过定点。
17. 已知a的终边与-6900的终边关于Y轴对称,则a=________;已知b的终边与-6900的终边关于原点对称,其中绝对值最小的b=________;
参考答案:
a= k·360°+1500 β=2100+ k·360°其中绝对值最小的b角是K=-1时,β=-1500
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数的定义域为集合,
集合>. 请你写出一个一元二次不等式,使它的解集为,并说明理由.
参考答案:
由得,……………………………………2分
又由,,,
,得,……………………………………5分
所以,,……………………………………7分
所以,不等式的解集为.(答案不唯一)………………10分
19. (本题满分8分)已知O为坐标原点,
(I)若,求点C的坐标;
(II)若A,B,C三点共线,求a+b的值.
参考答案:
20. 已知某海滨浴场的海浪高度(单位:米)是时间(单位:小时,0≤t≤24)的函数,记作y=f(t),如表是某日各时的浪高数据:
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
(Ⅰ)在如图的网格中描出所给的点;
(Ⅱ)观察图,从y=at+b,y=at2+bt+c,y=Acos(ωx+p)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;
(Ⅲ)依据规定,当海浪高度高于1.25米时蔡对冲浪爱好者开放,请依据(Ⅱ)的结论判断一天内的8:00到20:00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动.
参考答案:
【考点】5D:函数模型的选择与应用.
【分析】(Ⅰ)直接根据表中数据描点;
(Ⅱ)由图象,可知应选择的函数模型为:y=Acos(ωt+φ)+b,利用求得A,b的值,
再利用周期求得ω,最后代入图象上一个最高点或一个最低点的坐标求得φ值,则函数解析式可求;
(Ⅲ)由(Ⅱ),得0.5cos+1>1.25,解三角不等式得答案.
【解答】解:(Ⅰ)由表中数据描点如图:
;
(Ⅱ)由图可知,应选择的函数模型为:y=Acos(ωt+φ)+b.
不妨设A>0,ω>0,
则A=,b=,,ω=.
∴y=0.5cos(φ)+1,
又当x=0时,y=1.5,
∴0.5cosφ+1=1.5,得cosφ=1,则φ=2kπ,k∈Z.
∴y=0.5cos(2kπ)+1=0.5cos+1,(0≤t≤24);
(Ⅲ)由0.5cos+1>1.25,得cos,
∴,即12k﹣2<t<12k+2,k∈Z.
又8≤t≤20,∴10<t<14.
故一天内的8:00到20:00之间有4个小时可供冲浪爱好者进行活动.
21.
参考答案:
证明:设= a, = b, = c,
则= c - b, = a - c, = b - a
由题设:2 +2 =2 +2 =2 +2,
化简:a2 + (c - b)2 = b2 + (a - c)2 = c2 + (b - a)2
得: c?b = a?c = b?a
从而?= (b - a)?c = b?c - a?c = 0
∴^ 同理:^, ^
22. (本小题12分) 函数的图像过点(-1,0).
(1)求a的值; (2)求函数的定义域.
参考答案:
解:(1)将(-1,0)代入中,有,则-1+a=1
a=2
(2)由(1)知所以函数的定义域为
{ x|x>-2}
略