2022年河南省南阳市内乡县第三高级中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义域为R的函数满足,且的导函数,则的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 函数的零点所在的一个区间是( )
A. (-2,-1) B. (-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
参考答案:
B
3. 已知A是抛物线M:y2=2px(p>0)与圆C在第一象限的公共点,其中圆心C(0,4),点A到M的焦点F的距离与C的半径相等,M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径,O为坐标原点,则直线OA被圆C所截得的弦长为( )
A.2 B.2 C. D.
参考答案:
D
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【分析】求得圆的圆心和半径,运用抛物线的定义可得A,C,F三点共线时取得最小值,且有A为CF的中点,设出A,C,F的坐标,代入抛物线的方程可得p,由抛物线的定义可得a,求得C到直线OA的距离,运用圆的弦长公式计算即可得到所求值.
【解答】解:圆C:x2+(y﹣4)2=a2的圆心C(0,4),半径为a,则|AC|+|AF|=2a,
由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,
由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a,
可得A,C,F三点共线时取得最小值,且有A为CF的中点,
由C(0,4),F(,0),可得A(,2),
代入抛物线的方程可得,4=2p?,解得p=2,
即有a=+=,A(,2),
可得C到直线OA:y=2x的距离为d==,
可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=,
直线OA被圆C所截得的弦长为,
故选D
【点评】本题考查圆的弦长的求法,注意运用抛物线的定义和三点共线和最小,同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用,属于中档题.
4. 已知函数,若互不相等,且,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 已知等差数列{}中,,则tan()等于
(A) (B) (C)-1 (D)1
参考答案:
6. 在半径为的球面上有三点,如果,,则球心到平面的距离为
A. B. C. D.
参考答案:
C
【知识点】点、线、面间的距离计算.B4
解析:由题意在△ABC中,AB=cm,∠ACB=60°,
由正弦定理可求得其外接圆的直径为=16,即半径为8,又球心在面ABC上的射影是△ABC外心,故球心到面的距离,求的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形, 设球面距为d,球半径为10,故有d2=10282=36,解得d=6故选C.
【思路点拨】由题意,在△ABC中,AB=cm,∠ACB=60°,由正弦定理可求得其外接圆的直径为=16,即半径为8,由此几何体的结构特征知,用勾股定理求球心O到平面ABC的距离即可.
7. 在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
B
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数,求出在复平面内,复数对应的点的坐标,则答案可求.
【解答】解: ==,
在复平面内,复数对应的点的坐标为:(,),位于第二象限.
故选:B.
8. 若平面点集M满足:任意点(x,y)∈M,存在t∈(0,+∞),都有(tx,ty)∈M,则称该点集M是“t阶聚合”点集.现有四个命题:
①若M={(x,y)|y=2x},则存在正数t,使得M是“t阶聚合”点集;
②若M={(x,y)|y=x2},则M是“阶聚合”点集;
③若M={(x,y)|x2+y2+2x+4y=0},则M是“2阶聚合”点集;
④若M={(x,y)|x2+y2≤1}是“t阶聚合”点集,则t的取值范围是(0,1].
其中正确命题的序号为( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
参考答案:
C
【考点】集合的表示法.
【专题】计算题;转化思想;定义法;集合.
【分析】首先,对于①,直接判断即可,对于②:取(2,4),代人验证即可,对于③:取(1,﹣1)验证即可,对于④:则直接根据“t阶聚合”点集进行求解.
【解答】解:对于①:M={(x,y)|y=2x},
∴(tx,ty)∈M,
∴①正确;
对于②:∵M={(x,y)|y=x2},
∴取(2,4),
而点(1,2)?M,
∴②错误;
对于③:取(1,﹣1)为集合M上的一点,
则(2,﹣2)?M,
∴③错误;
对于④:∵x2+2y2≤1,根据题意,得
∴t2(x2+2y2)≤1,
∵t∈(0,+∞),
∴t∈(0,1].
∴④正确;
故选:C
【点评】本题重点考查了集合的元素特征,属于信息给予题,难度中等.准确理解给定的信息是解题的关键
9. 函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】函数的图象.
【分析】先求出函数的定义域,再利用函数值,即可判断.
【解答】解:由1﹣x2≠0,解得x≠±1,
∵函数,
当x=2时,f(x)<0,
当x=﹣2时,f(x)>0,
当x=时,f(x)>0,
当x=﹣时,f(x)<0,
故选:B.
10. 设集合,集合,则 ( )
A. B. ? C. ? D.
参考答案:
B.
试题分析:由题意得,,,∴,故选B.
考点:集合的运算.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正项等比数列{an}的公比q=2,若存在两项am,an,使得=4a1,则+的最小值为 .
参考答案:
【考点】基本不等式;等比数列的性质.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】正项等比数列{an}的公比q=2,由于存在两项am,an,使得=4a1,可得=4a1,化为m+n=6.再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:正项等比数列{an}的公比q=2,
∵存在两项am,an,使得=4a1,
∴=4a1,
∵a1≠0,
∴2m+n﹣2=24,
∴m+n=6.
则+=(m+n)()==,当且仅当n=2m=4时取等号.
∴+的最小值为.
故答案为:.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.
12. 如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为 .
参考答案:
64+4π
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】几何体为长方体挖去一个半球,把三视图中的数据代入公式计算即可.
【解答】解:由三视图可知该几何体为长方体挖去一个半球得到的,长方体的棱长分别为4,4,2,半球的半径为2.
∴S=4×4+4×2×4+4×4﹣π×22+=64+4π.
故答案为64+4π.
【点评】本题考查了空间几何体的三视图和面积计算,属于基础题.
13. 已知点在第一象限,且,则的取值范围是 .
参考答案:
14. 已知为等比数列,,则 .
参考答案:
15. 已知,若,则 _______。
参考答案:
0或2
略
16. A.(坐标系与参数方程选做题)曲线(为参数)与曲线的交点个数为 .
参考答案:
2;
17. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足,则______
参考答案:
【分析】
对题目所给等式进行赋值,由此求得的表达式,判断出数列是等比数列,由此求得的值.
【详解】解:,可得时,,
时,,又,
两式相减可得,即,上式对也成立,可得数列是首项为1,公比为的等比数列,可得.
【点睛】本小题主要考查已知求,考查等比数列前项和公式,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (2015?陕西校级模拟)直角坐标系中曲线C的参数方程为(θ为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)经过点M(2,1)作直线l交曲线C于A,B两点,若M恰好为线段AB的三等分点,求直线l的斜率.
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程.
【专题】坐标系和参数方程.
【分析】(1)变形曲线C的参数方程可得,由同角三角函数基本关系消参数可得;
(2)设直线l的倾斜角为θ,可得直线l的参数方程为,代入曲线C的直角坐标方程可得t的二次方程,由韦达定理和t1=﹣2t2可得斜率k的方程,解方程可得.
【解答】解:(1)变形曲线C的参数方程可得,
∵cos2θ+sin2θ=1,
∴曲线C的直角坐标方程为+=1;
(2)设直线l的倾斜角为θ,
可得直线l的参数方程为(t为参数)
代入曲线C的直角坐标方程并整理得(cos2θ+4sin2θ)t2+(4cosθ+8sinθ)t﹣8=0
由韦达定理可得t1+t2=,t1t2=
由题意可知t1=﹣2t2,代入上式得12sin2θ+16sinθcosθ+3cos2θ=0,
即12k2+16k+3=0,解方程可得直线的斜率为k=
【点评】本题考查参数方程和普通方程的关系,涉及三角函数的韦达定理,属中档题.
19. 已知数列{}中,=1,其前n项的和为,且满足(I)求证:数列{}是等差数列;
(II)证明:当 时,.
参考答案:
(Ⅰ)当时,,
,从而构成以1为首项,2为公差的等差数列. 6分
(Ⅱ)由(1)可知,,
当时,
从而.12分
20. 已知函数,关于x的不等式的解集记为A.
(1)求A;
(2)已知,,求证:.
参考答案:
(1)由,得,
即或或
解得或,
所以,集合.
(2)证明:∵,,∴,
∴,,,
∵,
∴.
21. 已知向量角为的内角,其所对的边分别为
(1)当取得最大值时,求角的大小;(2)在(1)成立的条件下,当时,求的取值范围.
参考答案:
解:(1),
令 ,
原式,当 ,即 , 时, 取得最大值.
(2)当 时, ,.由正弦定理得:(R为△ABC的外接圆半径)
于是
.
由,得,于是,,所以b2+c2的范围是.
22. 为了更好地开展社团活动,丰富同学们的课余生活,现用分层抽样的方法从“模拟联合国”,“街舞”,“动漫”,“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组,有关数据见下表:(单位:人)
社团
相关人数
抽取人数
模拟联合国
24
a
街舞
18
3
动漫
B
1
话剧
12
c
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若从“模拟联合国”与“话剧”社团已抽取的人中选人担任指导小组组长,求这人分别来自这两个社团的概率.
参考答案:
(Ⅰ)由表可知抽取比例为,故,, ………6分
(Ⅱ)设“模拟联合国”人分别为
; “话剧”人分别为.则从中任选人的所有基本事件为,
,共个. ……8分
其中人分别来自这两个社团的基本事件为
,共个..10分
所以这人分别来自这两个社团的概率…….12分