2022年浙江省金华市东阳吴宁第一中学高二数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设曲线在点(1,1)处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为
A. B. C. D. 1
参考答案:
C
2. 光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被y=x反射后的光线所在的直线方程为( )
参考答案:
B
3. 如果函数y=ax2+bx+a的图像与x轴有两个交点,则点(a,b)在aOb平面上的区域为(注:下列各选项的区域均不含边界,也不含y轴)( ).
A B C D
参考答案:
C
4. 某三棱锥的三视图如图所示,其正视图和侧视图都是直角三角形,则该三棱锥的体积等于( )
A. B. C.1 D.3
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体的结构特征是什么,从而求出它的体积.
【解答】解:根据几何体的三视图,得;
该几何体是底面为三角形,高为3的直三棱锥;
且底面三角形的底边长为2,底边上的高是1;
∴该三棱锥的体积为:
V=××2×1×3=1.
故选:C.
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了体积计算公式的应用问题,是基础题目.
5. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.2
参考答案:
D
【考点】直线的倾斜角;直线和圆的方程的应用.
【专题】计算题.
【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用,由已知圆x2+y2﹣4y=0,我们可以将其转化为标准方程的形式,求出圆心坐标和半径,又直线由过原点且倾斜角为60°,得到直线的方程,再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理,即可求解.
【解答】解:将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为:
x2+(y﹣2)2=4,
即圆的圆心为A(0,2),半径为R=2,
∴A到直线ON的距离,即弦心距为1,
∴ON=,
∴弦长2,
故选D.
【点评】要求圆到割线的距离,即弦心距,我们最常用的性质是:半径、半弦长(BE)、弦心距(OE)构成直角三角形,满足勾股定理,求出半径和半弦长,代入即可求解.
6. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数,且当成立(其中的导函数),若,,,则,,的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知命题,那么命题为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
8. 执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据程序框图,逐步执行,即可得出结果.
【详解】初始值,
第一步:,进入循环;
第二步:,结束循环,输出.
故选A
9. 如表是一位母亲给儿子作的成长记录:
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
94.8
104.2
108.7
117.8
124.3
130.8
139.1
根据以上样本数据,她建立了身高y(cm)与年龄x(周岁)的线性回归方程为=7.19x+73.93,给出下列结论:
①y与x具有正的线性相关关系;
②回归直线过样本的中心点(42,117.1);
③儿子10岁时的身高是145.83cm;
④儿子年龄增加1周岁,身高约增加7.19cm.
其中,正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】根据回归方程的定义和性质分别进行判断即可.
【解答】解:由线性回归方程为=7.19x+73.93可得直线的斜率k=7.19>0,则y与x具有正的线性相关关系,故①正确,
∵=(3+4+5+6+7+8+9)=6, =(94.8+104.2+108.7+117.8+124.3+130.8+139.1)=117.1,即样本中心为(6,117.1),故②错误;
当x=10时, =7.19×10+73.93=145.83cm,即儿子10岁时的身高大约是145.83cm,不一定一定是145.83cm,故③错误,
儿子年龄增加1周岁,身高约增加7.19cm,故④正确,
故正确的是①④,
故选:B
【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及线性回归方程的性质,难度不大.
10. 设椭圆的左、右焦点分别为是上的点 ,,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
由题意,设,则,,所以由椭圆的定义知,又因为,所以离心率为,故选C.
考点:椭圆的离心率.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点M的纵坐标为4,则|AB|= ______ .
参考答案:
12
12. 不等式≤的解集为 ▲ .
参考答案:
略
13. 已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为
参考答案:
2
解:设切点,则,又
.
14. 如图,在△ABC中,D,E分别为边BC,AC的中点.F为边AB上的点,且,若,则x+y的值为 .
参考答案:
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【专题】计算题;平面向量及应用.
【分析】根据三角形中线的性质,得=+,结合题意得到=,结合平面向量基本定理算出x=,y=1,即可得到x+y的值.
【解答】解:∵AD是△ABC的中线,
∴=+=
∵
∴根据平面向量基本定理,得x=,y=1,因此x+y的值为
故答案为:
【点评】本题给出三角形的中点和边的三等分点,求向量的线性表达式.着重考查了三角形中线的性质和平面向量基本定理等知识,属于中档题.
15. 已知方程有解,则实数的取值范围是 ▲ .
参考答案:
略
16. 在的二项展开式中,常数项为________(结果用数值表示)
参考答案:
20
【分析】
利用二项展开式的通项公式Tr+1中x的幂指数为0即可求得答案.
【详解】 ,令=0,得:r=3,
所以常数项为:=20,
故答案为20.
【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项,利用其二项展开式的通项公式求得r=3是关键,考查运算能力,属于中档题.
17. 若椭圆过点(1,2),则以a,b为两直角边的直角三角形斜边长的最小值为 ▲ .
参考答案:
3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图(1),等腰直角三角形的底边,点在线段上,于,现将沿折起到的位置(如图(2)).
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,直线与平面所成的角为,求长.
参考答案:
设,则,,,
略
19. ( 13分) 矩形的中心在坐标原点,边与轴平行,=8,=6. 分别是矩形四条边的中点,是线段的四等分点,是线段的四等分点.设直线与,与,与的交点依次为.
(1) 求以为长轴,以为短轴的椭圆Q的方程;
(2) 根据条件可判定点都在(1)中的椭圆Q上,请以点L为例,给出证明(即证明点L在椭圆Q上).
(3)设线段的(等分点从左向右依次为,线段的等分点从上向下依次为,那么直线与哪条直线的交点一定在椭圆Q上?(写出结果即可,此问不要求证明)
参考答案:
另法:设直线、交点,
由三点共线得: ………………①
由三点共线得: …………………②
①②相乘,整理可得,即
所以L在椭圆上。
(3)
20. (本小题12分) 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线L的参数方程为 (t为参数)
(1)写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C,设 M(x,y)为C上任意一点,求的最小值,并求相应的点M的坐标
参考答案:
(1)圆C的方程为---------------------------------------2分
直线L方程为-------------------------------4分
(2)由和得-----------------------6分
21. (本题满分13分)
如图在棱长为2的正方体中,点F为棱CD中点,点E在棱BC上
(1)确定点E位置使面;
(2)当面时,求二面角的平面角的余弦值;
参考答案:
解析:(1)以A为原点,、、线为坐标轴建立如图空间直角坐标系
设…………………………2分
则面有且…………………………4分
得 为中点…………………………6分
(2)面时取……………………………………7分
设面的一个法向量为…………8分
且 则 取……………10分
得 二面角的余弦值为……13分
22. 已知函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若,求的值.
(1)
参考答案:
(1) 解:
…… 3分
由 …………… 4分
解得Z. …………… 5分
∴的单调递增区间是Z. ………… 6分
(2)解:由(1)可知,
∴,得. …………… 8分
∴ …………… 10分
. …………… 12分
略