2022年湖南省永州市小甲中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中周期为且图象关于直线对称的函数是 ( )
(A) A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
2. 已知(为虚数单位),则复数的虚部为( )
A. B. 1 C. D. 2
参考答案:
D
3. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的函数是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 已知数列为等差数列,其前项和为,若,,则该等差数列的公差 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 数列{an}的前n项和为Sn,若,则S5等于( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
B
考点:数列的求和.
专题:等差数列与等比数列.
分析:利用“裂项求和”即可得出.
解答: 解:∵,
∴…+==.
∴.
故选B.
点评:熟练掌握“裂项求和”的方法是解题的关键.
6. 集合M={x|x=,k∈Z}与N={x|x=,k∈Z}之间的关系是 ( )
A.MN B.NM C.M=N D.M∩N=
参考答案:
A
7. 设x、y满足 则
A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最大值 D.既无最小值,也无最大值
参考答案:
B
做出可行域如图(阴影部分)。由得,做直线,平移直线由图可知当直线经过点C(2,0)时,直线的截距最小,此时z最小为2,没有最大值,选B.
8. 命题若,则是的充分而不必要条件:
命题函数的定义域是,则( )
A.“p或q”为假 B.p假q真 C.p真q假 D.“p且q”为真
参考答案:
【知识点】复合命题的真假.A3
【答案解析】B 解析:∵|a+b|≤|a|+|b|,
若|a|+|b|>1,不能推出|a+b|>1,而|a+b|>1,一定有|a|+|b|>1,故命题p为假.
又由函数y=的定义域为|x﹣1|﹣2≥0,即|x﹣1|≥2,即x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2.
故有x∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞).∴q为真命题.故选B.
【思路点拨】若|a|+|b|>1,不能推出|a+b|>1,而|a+b|>1,一定有|a|+|b|>1,故命题p为假.又由函数y=的定义域为x∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),q为真命题.
9. 如图,棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1,点A在平面内,平面ABCD与平面所成的二面角为30°,则顶点C1到平面的距离的最大值是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
直线CA在平面上移动, CA与平面所成线面角在变化的过程中,当线面角与二面角重叠时线面角最大。
10. (5分)(2012?朝阳区一模)已知点集A={(x,y)|x2+y2﹣4x﹣8y+16≤0},B={(x,y)|y≥|x﹣m|+4,m是常数},点集A所表示的平面区域与点集B所表示的平面区域的边界的交点为M,N.若点D(m,4)在点集A所表示的平面区域内(不在边界上),则△DMN的面积的最大值是( )
A.
1
B.
2
C.
D.
4
参考答案:
B
由题意,点D在直线y=4上,集合A表示的平面区域是图中圆O′的内部,集合B表示的平面区域是图中直角的内部
当D运动到O′时,△DMN的面积的最大值,此时三角形是一个直角边为2的等腰直角三角形,
所以面积为2
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
设函数的反函数是,且函数过点,则 .
参考答案:
答案:2
12. 已知,则的最大值是
参考答案:
略
13. 若变量,满足约束条件,则的最小值为 .
参考答案:
14. 设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.
(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;
(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.
参考答案:
(1)6;(2)
15. 执行如图所示的流程图,会输出一列数,则这列数中的第3个数是 .
参考答案:
30
【考点】EF:程序框图.
【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的A,N的值,即可得解输出一列数中的第3个数.
【解答】解:模拟执行程序,可得
A=3,N=1,输出3,N=2,
满足条件N≤4,A=6,输出6,N=3,
满足条件N≤4,A=30,输出30,N=4,
满足条件N≤4,A=870,输出870,N=5,
不满足条件N≤4,结束.
则这列数中的第3个数是30.
故答案为:30.
16. 若,则
参考答案:
17. 对一批产品的质量(单位:克)进行抽样检测,样本容量为800,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,单件产品质量在区间[25,30)内为一等品,在区间[20,25)和[30,35)内为二等品,其余为次品.则样本中次品件数为_______.
参考答案:
200
【分析】
由频率分布直方图可知,算出次品所占的比例乘以样本容量即可得出结果.
【详解】根据频率分布直方图可知,样本中次品的频率为:1-(0.05+0.0625+0.0375)×5=0.25,
所以,样本中次品的件数为:0.25×800=200
故答案为:200
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的读图能力,注意纵坐标意义.属于简单题型.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.
参考答案:
【考点】其他不等式的解法;交集及其运算.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】(Ⅰ)由所给的不等式可得 ①,或 ②,分别求得①、②的解集,再取并集,即得所求.
(Ⅱ)由g(x)≤4,求得N,可得M∩N=[0,].当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,不等式的左边化为﹣,显然它小于或等于 ,要证的不等式得证.
【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得 ①,或 ②.
解①求得1≤x≤,解②求得 0≤x<1.
综上,原不等式的解集为[0,].
(Ⅱ)证明:
由g(x)=16x2﹣8x+1≤4,求得﹣≤x≤,
∴N=[﹣,],
∴M∩N=[0,].
∵当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,
∴x2f(x)+x[f(x)]2 =xf(x)[x+f(x)]=﹣≤,
故要证的不等式成立.
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论、等价转化的数学思想,属于中档题.
19. 设函数,其中为自然对数的底数.
(Ⅰ)已知,求证:;
(Ⅱ)函数是的导函数,求函数在区间上的最小值.
参考答案:
(Ⅰ)证明:
………………………6分
(Ⅱ),
,
(1)当时,∵,,∴恒成立,
即,在上单调递增,
所以.
(2)当时,∵,,∴恒成立,
即,在上单调递减,
所以.
(3)当时,得
在上单调递减,在上单调递增,
所以 ………………………12分
20. 为了了解重庆各景点在大众中的熟知度,随机对15~65岁的人群抽样了n人,回答问题“重庆市有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表.
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15,25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65]
3
y
(Ⅰ)分别求出a,b,x,y的值;
(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组各抽取多少人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
参考答案:
(Ⅰ)由频率表中第4组数据可知,第4组总人数为,
再结合频率分布直方图可知n=, ∴ a=100×0.01×10×0.5=5,b=100×0.03×10×0.9=27, …4分
(Ⅱ)因为第2,3,4组回答正确的人数共有54人,
所以利用分层抽样在54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:第2组:人;第3组:人;第4组:人 ………….8分
(Ⅲ)设第2组2人为:A1,A2;第3组3人为:B1,B2,B3;第4组1人为:C1.
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)共15个基本事件,其中恰好没有第3组人共3个基本事件, …….…10分
∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是:. …….…12分
21. (12分)某班有两个课外活动小组组织观看奥运会,其中第一小组有足球票6张,排球票4张;第二小组有足球票4张,排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张,乙从第二小组的10张票中任抽1张.
(1) 求两人都抽到足球票的概率;
(2)求两人中至少有一人抽到足球票的概率.
参考答案:
解析:记“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件A,“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件B;记“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件,“乙从张二小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件,于是
……………………………………2分
由于甲(或乙)是否抽到足球票,对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响,因此A与B是相互独立事件。……………………………………4分
(1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件A、B同时发生,根据相互独立事件的乘法概率公式,得到 ………………………7分
因此,两人都抽到足球票的概率是 ………………………8分
(2)甲、乙两人均未抽到足球票(事件、同时发生)的概率为
………………………9分
所以,