2022年陕西省咸阳市彬县第二中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若直线L平行于平面,直线,则L与直线的位置关系是( )
A、 L∥a B、L与异面 C、L与相交 D、L与没有公共点
参考答案:
D
略
2. 如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a-b可表示为( )
A.3e2-e1
B.-2e1-4e2
C.e1-3e2
D.3e1-e2
参考答案:
C
3. 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的两个焦点,其中焦距为2 c,长轴长为2 a,当放在点A处的小球被击出发,经椭圆壁反弹后再回到点A时,小球经过的路程是( )
(A)4 a (B)2 ( a – c ) (C)2 ( a + c ) (D)以上答案均有可能
参考答案:
D
4. 设m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平的,有以下四个命题:
①若α∥β,α∥γ,则β∥γ ②若α⊥β,m∥α,则m⊥β
③若m∥n,n?α,则m∥α ④若m⊥α,m∥β,则α⊥β
其中正确命题的序号是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
参考答案:
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】定义法;空间位置关系与距离;简易逻辑.
【分析】①根据面面平行的性质进行判断,
②根据线面垂直和面面垂直的性质和判定定理进行判断,
③根据线面平行的判定定理进行判断,
④根据线面垂直,线面平行和面面垂直的性质进行判断.
【解答】解:①若α∥β,α∥γ,则β∥γ,成立,故①正确,
②若α⊥β,m∥α,则m⊥β或m∥β或m?β,故②错误,
③若m∥n,n?α,则m∥α或m?α,故③错误,
④若m⊥α,m∥β,则α⊥β成立,故④正确,
故正确是①④,
故选:B.
【点评】本题主要考查与空间直线和平面平行或垂直的命题的真假的判断,要求熟练掌握空间线面,面面平行或垂直的性质定理和判定定理.
5. 椭圆+=1的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】先根据椭圆的标准方程得出:长轴长,短轴长,进而根据椭圆a,b,c的关系a2=b2+c2可表示出c,再由e=得到答案
【解答】解:∵椭圆+=1,
∴a=5,b=4
∴c=3
∴e==
故选:D.
6. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,记椭圆和双曲线的离心率分别为,则的值为
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
略
7. 符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是( )
A.a=1,b=,A=30° B.a=1,b=2,c=3
C.b=c=1,B=45° D.a=1,b=2,A=100°
参考答案:
C
【考点】解三角形.
【专题】综合题.
【分析】利用已知选项的条件,通过正弦定理,组成三角形的条件,判断能不能组成三角形,以及三角形的个数.
【解答】解:对于A、a=1,b=,A=30°三角形中B可以是45°,135°,组成两个三角形.
对于B、a=1,b=2,c=3组不成三角形.
对于D、a=1,b=2,A=100°组不成三角形.
对于C、b=c=1,B=45°显然只有一个三角形.
故选C.
【点评】本题是基础题,考查三角形的基本性质,注意正弦定理的应用,大角对大边,小角对小边,常考题型.
8. 已知不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},则不等式bx2﹣5x+a>0的解集是( )
A.{x|x<﹣3或x>﹣2} B.{x|x<﹣或x>﹣}
C.{x|﹣<x<﹣} D.{x|﹣3<x<﹣2}
参考答案:
C
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】根据不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系求出a、b的值,再代入不等式bx2﹣5x+a>0求解集即可.
【解答】解:不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},
∴方程ax2+5x+b=0的实数根为2和3,
∴,
解得a=﹣1,b=﹣6;
∴不等式bx2﹣5x+a>0为﹣6x2﹣5x﹣1>0,
即6x2+5x+1<0,
解得﹣<x<﹣;
∴不等式bx2﹣5x+a>0的解集是{x|﹣<x<﹣}.
故选:C.
9. 函数的导数是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
10. 已知抛物线y2=8x的焦点与椭圆+y2=1的一个焦点重合,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意,抛物线y2=8x的焦点为(2,0),从而求离心率.
【解答】解:抛物线y2=8x的焦点为(2,0);
故c=2,b=1,a=;
故e==;
故该椭圆的离心率为;
故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知某圆锥体的底面半径r=3,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥体的表面积是 .
参考答案:
36π
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】圆锥的底面周长为侧面展开图的弧长,利用弧长公式计算展开图的半径即圆锥的母线长,代入公式计算得出面积.
【解答】解:圆锥的底面积S底=π×32=9π,
圆锥侧面展开图的弧长为2π×3=6π,
∴圆锥侧面展开图的扇形半径为=9.
圆锥的侧面积S侧==27π.
∴圆锥的表面积S=S底+S侧=36π.
故答案为:36π.
12. 一半球的体积是18 π,则此半球的内接正方体的表面积是 。
参考答案:
36
13. 已知命题,,若命题是假命题,则实数的取值范围是 .(用区间表示)
参考答案:
14. 一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
参考答案:
①②③⑤
15. 已知函数f(x)=13﹣8x+x2,且f′(a)=4,则实数a的值 .
参考答案:
3
【考点】63:导数的运算.
【分析】根据题意,对函数f(x)求导可得f′(x),又由f′(a)=4,可得2a﹣8=4,解可得a的值,即可得答案.
【解答】解:根据题意,函数f(x)=13﹣8x+x2,
则其导函数f′(x)=2x﹣8,
若f′(a)=4,则有2a﹣8=4,
解可得a=3;
故答案为:3.
16. 在平面几何里,已知的两边互相垂直,且,则边上的高;拓展到空间,如图,三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且,则点到面的距离
参考答案:
17. 设:关于的不等式的解集为,:函数的定义域为,如果和有且仅有一个正确,则的取值区间是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知椭圆:与抛物线:有相同焦点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知直线过椭圆的另一焦点,且与抛物线相切于第一象限的点,设平行的直线交椭圆于两点,当△面积最大时,求直线的方程.
参考答案:
(Ⅰ)由于抛物线的焦点为,得到,又得到.
(Ⅱ)思路一:设,,
直线的方程为即且过点
,
切线方程为
由,设直线的方程为,联立方程组
由,消整理得
设,,应用韦达定理
得,由点到直线的距离为,应用基本不等式等号成立的条件求得
思路二:,由已知可知直线的斜率必存在,设直线
由消去并化简得
根据直线与抛物线相切于点.得到,.
根据切点在第一象限得;由∥,设直线的方程为
由,消去整理得, 思路同上.
试题解析:(Ⅰ)抛物线的焦点为,
,又
椭圆方程为.
(Ⅱ)(法一)设,,
直线的方程为即且过点
,
切线方程为
因为,所以设直线的方程为,
由,消整理得
,解得 ①
设,,则
∴
直线的方程为,
点到直线的距离为
,
由①,
(当且仅当即时,取等号)
最大
所以,所求直线的方程为:.
(法二),由已知可知直线的斜率必存在,
设直线
由 消去并化简得
∵直线与抛物线相切于点.
∴,得.
∵切点在第一象限.
∴
∵∥
∴设直线的方程为
由,消去整理得,
,解得.
设,,则
,
.
又直线交轴于
10分
当,即时,.
所以,所求直线的方程为. 12分
考点:1.椭圆、抛物线标准方程及几何性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系.
19. 已知直线,圆
(1)判断直线和圆的位置关系;
(2)若直线和圆相交,求相交弦长最小时的值.
参考答案:
解:(1)直线,
即为,
则直线经过直线与的交点
而,所以点在圆的内部,所以直线和圆相交;
(2)假设直线和圆相交于点,由相交弦长公式,其中为圆心到直线的距离,有公式可知,
当最大时,相交弦长最小,而由(1)知,
直线过定点,所以,即,又,所以,
20. (10分)已知原命题为“若a>2,则a2>4”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断四种命题的真假。
参考答案:
原命题为“若a>2,则a2>4”正确 …1分
逆命题: 错误 …4分
否命题:错误 …7分
逆否命题:正确 …10分
21. (12分)已知椭圆方程为,它的一个顶点为,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于A,B两点,坐标原点O到直线的距离为,求△AOB面积的最大值.
参考答案:
(1)设,依题意得
… ………2分
解得 …….3分
椭圆的方程为 … ……….4分
(2)①当AB …… …5分
②当AB与轴不垂直时,设直线AB的方程为
,
由已知得 … …6分
代入椭圆方程,整理得
……… 7分
当且仅当时等号成立,
此时… 10分
③当 … ……11分
综上所述:,
此时面积取最大值
…… 12分
22. 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C:ρ=,θ∈[0,2π),直线l为参数,t∈R)
(1)求曲线C和直线l的普通方程;
(2)设直线l和曲线C交于A、B两点,求|AB|的值.
参考答案:
【考点】QH:参数方程化成普通方程;Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)曲线C:ρ=,θ∈[0,2π),化为2ρ﹣ρcosθ=3,可得4ρ2=(3+ρcosθ)2,利用ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,可得直角坐标方程.可由