2022年湖南省长沙市长郡外国语学校高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知分别是两条不重合的直线,分别垂直于两不重合平面,有以下四个命题:①若,且,则;②若,且,则; ③若且,则;④若且,则.其中真命题的序号是( )
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
参考答案:
D
2. 已知函数 f (x)是定义在(-6,6)上的偶函数, f (x)在[0,6)上是单调函数,且 f (-2) < f (1),则下列不等式成立的是
参考答案:
D
略
3. 下列四种说法中,正确的是 ( )
A.的子集有3个;
B.“若”的逆命题为真;
C.“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件;
D.命题“,均有”的否定是 “使得
参考答案:
C
4. 已知函数满足:①;②在上为增函数
若,且,则与的大小关系是()
A B
C D 无法确定
参考答案:
C
略
5. 设p:x2﹣x﹣20>0,q:<0,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】其他不等式的解法;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】分别解出p和q的范围,解q时注意到关于y轴对称,只要解x≥0时即可.
【解答】解:p:x2﹣x﹣20>0,解得x>5或x<﹣4,
q:<0,当x≥0时可化为得0≤x<1或x>2
故<0的解为:x<﹣2或﹣1<x<1或x>2,
故选A
6. 某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的值为31,则等于( )
A 0 B 1 C 2 D 3
参考答案:
C
略
7. 若复数是纯虚数,则实数的值为
A. 或 B. C. D. 或
参考答案:
C
略
8. 若x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最小值为( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
参考答案:
B
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件,作出可行域如图
联立,解得A(1,3),化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z.
由图可知,当直线y=2x﹣z.过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为﹣1.
故选:B.
9. 已知,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意,,则的解集为( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-l) D.(-∞,+∞)
参考答案:
B
设, 则,
,对任意,有,即函数在R上单调递增,则的解集为,即的解集为,选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知连续个正整数总和为,且这些数中后个数的平方和与前个数的平方和之差为.若,则的值为 .
参考答案:
5
略
12. 若正数a,b满足3+log2a=1+log4b=log8(a+b),则a= ,b= .
参考答案:
,.
【考点】4H:对数的运算性质.
【分析】正数a,b满足3+log2a=1+log4b=log8(a+b),利用对数的运算法则与单调性可得:8a==,解出即可得出.
【解答】解:∵正数a,b满足3+log2a=1+log4b=log8(a+b),
∴log2(8a)==,
∴8a==,
解得a==b.
故答案为:,.
13. 在中,角所对的边分别为且,则的外接圆的半径
参考答案:
14. 已知是正整数,若关于的方程有整数解,则所有可能的取值集合是 .
参考答案:
15. 已知向量,的夹角为,,则在方向上的投影为 ▲ .
参考答案:
由题意得投影为
16. 已知点P在圆x2+y2=1上运动,则P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为 .
参考答案:
2
略
17. 计算= ;
参考答案:
e
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为,直线l的参数方程(t为参数),若将曲线C1上的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得曲线C2.
(1)写出曲线C2的参数方程;
(2)设点,直线l与曲线C2的两个交点分别为A,B,求的值.
参考答案:
(1)(为参数);(2)
分析:(1)若将曲线上的点的纵坐标变为原来的,则曲线的直角坐标方程,进而得到曲线的参数方程.
(2)将直线的参数方程化为标准形式代入曲线,得到,进而可求解结论.
详解:(1)若将曲线上的点的纵坐标变为原来的,则曲线的直角坐标方程为,
整理得,曲线的参数方程(为参数).
(2)将直线的参数方程化为标准形式为(为参数),
将参数方程带入得
整理得.
,,
.
点睛:本题考查了参数方程与普通方程的互化,及直线的参数方程的应用,重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
19. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)判断函数的单调性并求出函数的最小值;
(2)若恒成立,求m的取值范围.
参考答案:
20. (本小题满分12分)某公司生产产品A,产品质量按测试指标分为:指标大于或等于90为一等品,大于或等于小于为二等品,小于为三等品,生产一件一等品可盈利50元,生产一件二等品可盈利元,生产一件三等品亏损10元.现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标
甲
3
7
20
40
20
10
乙
5
15
35
35
7
3
现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率.
(1)计算新工人乙生产三件产品A,给工厂带来盈利大于或等于100元的概率;
(2)记甲乙分别生产一件产品A给工厂带来的盈利和记为X,求随机变量X的概率分布和数学期望.
参考答案:
甲生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为, 3分
乙生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为 6分
(1)新工人乙生产三件产品A,给工厂带来盈利大于或等于100元的情形有:三件都是一等品;二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品,概率为: 8分
(2))随机变量X的所有可能取值为100,80,60,40,20,-20.
,,
,,
,
所以,随机变量的概率分布为:
100
80
60
40
20
-20
随机变量X的数学期望 (元)12分
考点:1.统计概率.2.数学期望的计算.
21. (本小题满分14分)设,其中
(Ⅰ)当时,求的极值点;
(Ⅱ)若为R上的单调函数,求a的取值范围。
参考答案:
解:对求导得 ①……………2分
(Ⅰ)当时,若
解得……………4分
综合①,可知
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以, 是极小值点, 是极大值点. ……………8分
(II)若为R上的单调函数,则在R上不变号,
结合①与条件a>0,知在R上恒成立,……………10分
因此由此并结合,知。
所以a的取值范围为……………14分
22. (本小题满分10分)选修:几何证明选讲
如图所示,是半圆的直径,,垂足为,,与、分别交于点、.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)证明:.
参考答案: