2022年湖南省长沙市金海实验学校高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (2016?海南校级二模)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a﹣b)2+6,C=,则△ABC的面积( )
A.3 B. C. D.3
参考答案:
C
【考点】余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】根据条件进行化简,结合三角形的面积公式进行求解即可.
【解答】解:∵c2=(a﹣b)2+6,
∴c2=a2﹣2ab+b2+6,
即a2+b2﹣c2=2ab﹣6,
∵C=,
∴cos===,
解得ab=6,
则三角形的面积S=absinC==,
故选:C
【点评】本题主要考查三角形的面积的计算,根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键.
2. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<ex的解集为( )
A.(﹣2,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(4,+∞)
参考答案:
B
【考点】利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.
【专题】综合题;函数的性质及应用.
【分析】构造函数g(x)=(x∈R),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解
【解答】解:∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x+2)的图象关于x=0对称
∴y=f(x)的图象关于x=2对称
∴f(4)=f(0)
又∵f(4)=1,∴f(0)=1
设g(x)=(x∈R),则g′(x)==
又∵f′(x)<f(x),∴f′(x)﹣f(x)<0
∴g′(x)<0,∴y=g(x)在定义域上单调递减
∵f(x)<ex
∴g(x)<1
又∵g(0)==1
∴g(x)<g(0)
∴x>0
故选B.
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.
3. 已知函数(a>0)的最小值为2,则实数a=( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
参考答案:
B
由得,故函数的定义域为,易知函数在上单调递增,所以,解得。选B。
4. 如果实数满足不等式组,目标函数的最大值为6,最小值为0,则实数的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
略
5. 不等式 对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[-2,5] D.(-∞,-1]∪[4,+∞)
参考答案:
A
6. 下列命题为真命题的是( )
(A)若为真命题,则为真命题
(B)“”是“”的充分不必要条件
(C)命题“若,则”的否命题为“若,则”
(D)若命题:,使,则:,使
参考答案:
B
7. 已知函数的定义域为,部分对应值如下表,的导函数,函数的图象如右图所示:
-2
0
4
1
-1
1
若两正数a,b满足的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且C=60°,则 的值为( )
A. B.1 C. D.
参考答案:
C
略
9. 设集合则
参考答案:
D
略
10. 已知双曲线的左焦点F1,过点F1作倾斜角为30°的直线与圆相交的弦长为,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的图像在点处的切线方程为,则 .
参考答案:
3
略
12. 在边长的等边中,,若是所在平面内一点,且为单位向量,则的最大值为 .
参考答案:
13. 如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,他们是由整数的倒数组成的,第行有个数且两端的数均为,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如:…,则第10行第3个数字是 .
参考答案:
略
14. 设函数,若,则F(x)的最大值为 。
参考答案:
15. 若圆与圆相交于,则公共弦的长为________.
参考答案:
公共弦所在的直线方程为,圆的圆心到公共弦的距离为,所以公共弦的长为。
16. 若角α的终边与的终边关于y轴对称,则角α的取值集合为 .
参考答案:
.
【分析】由角α的终边与的终边关于y轴对称,可知α=,k∈Z,从而可得答案.
【解答】解:∵角α的终边与的终边关于y轴对称,
∴,
∴角α的取值集合为:.
故答案为:.
17. 已知向量,,,若∥,则= .
参考答案:
5
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)已知的三内角、、所对的边分别是,,,向量=(cosB,cosC),=(2a+c,b),且⊥.
(1)求角的大小;
(2)若,求的范围
参考答案:
19. 为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系,该市统计调查队随机调查10个家庭,得数据如下:
求回归直线方程.
参考答案:
用计算机Excel软件作出散点图(如下图),观察呈线性正相关,并求出回归方程=0.8136x-0.0044.
20. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设,若对任意,总存在,使得,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)……………………………………2分
当时,由于,故,故,
所以,的单调递增区间为…………………………………………3分
当时,由,得.
在区间上,,在区间上
所以,函数的单调递增区为,单调递减区间为…………5分
所以,当时,的单调增区间为.
当时,函数的单调递增区间为,单调递区间为
………………………………………………………………………………………………6分
(2)由已知,转化为.
由已知可知………………………………………………8分
由(1)知,当时,在上单调递增,值域为,故不符合题意.
(或者举出反例:存在,故不符合题意)…………………9分
当时,在上单调递增,在上单调递减,
故的极大值即为最大值,,
所以,解得………………………………………………12分
略
21. 已知直线y=2与函数f(x)=2sin2ωx+2sinωxcosωx-1(ω>0)的图像的两个相邻交点之间的距离为π.
(I)求f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间;
(II)将函数f(x)的图像向左平移个单位长度得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合.
参考答案:
(1)f(x)=2sin2ωx+2sinωxcosωx-1=1-cos2ωx+sin2ωx-1=2sin,
由题意可知函数的最小正周期T==π(ω>0),所以ω=1,所以f(x)=2sin,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+其中k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,其中k∈Z,
即f(x)的递增区间为,k∈Z.
(2)g(x)=f=2sin=2sin,则g(x)的最大值为2,此时有2sin=2,即sin=1,即2x+=2kπ+,其中k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,
所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为
22. 如图,ABCD是正方形空地,正方形的边长为30m,电源在点P处,点P到边AD、AB的距离分别为9m、3m,某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF,MN:NE=16:9,线段MN必须过点P,满足M、N分别在边AD、AB上,设,液晶广告屏幕MNEF的面积为
(I)求S关于x的函数关系式,并写出该函数的定义域;
(II)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小?
参考答案:
解:(I)如图,建立直角坐标系,设
由已知有
又MN过点D时,x最小值为10,
…………2分
…………5分
定义域为[10,30] …………6分
(II)
…………7分
令,
当关于x为减函数;
当时,关于为增函数 …………11分
时,S取得最小值 …………11分
答:当AN长为(m)时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小
…………12分