2022年湖南省湘西市皇仓中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 锐角三角形中,若,分别是角所对边,则下列叙述正确的是① ② ③ ④
A. ①② B. ①②③ C.③④ D.①④
参考答案:
B
略
2. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a﹣1|)>f(﹣),则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,) B.(﹣∞,)∪(,+∞) C.(,) D.(,+∞)
参考答案:
C
【考点】函数单调性的性质.
【分析】根据函数的对称性可知f(x)在(0,+∞)递减,故只需令2|a﹣1|<即可.
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵2|a﹣1|>0,f(﹣)=f(),
∴2|a﹣1|<=2.
∴|a﹣1|,
解得.
故选:C.
3. 已知集合,,则
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 已知tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根,且﹣,﹣,则α+β=( )
A. B.﹣ C.或﹣ D.﹣或
参考答案:
B
【考点】两角和与差的正切函数;一元二次方程的根的分布与系数的关系.
【分析】先根据韦达定理求得tanα?tnaβ和tanα+tanβ的值,进而利用正切的两角和公式求得tan(α+β)的值,根据tanα?tnaβ>0,tanα+tanβ<0推断出tanα<0,tanβ<0,进而根据已知的α,β的范围确定α+β的范围,进而求得α+β的值.
【解答】解:依题意可知tanα+tanβ=﹣3,tanα?tnaβ=4
∴tan(α+β)==
∵tanα?tnaβ>0,tanα+tanβ<0
∴tanα<0,tanβ<0
∵﹣,﹣,
∴﹣π<α+β<0
∴α+β=﹣
故选B
5. 过点(1,0)且与直线x-2y=0垂直的直线方程是( )
A. x-2y-1=0 B. x-2y+1=0
C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0
参考答案:
C
【分析】
先求出直线斜率,再根据点斜式求直线方程。
【详解】由题,两直线垂直,斜率为,又直线过点,根据点斜式可得,整理得,故选C。
【点睛】本题考查两条直线垂直时的斜率关系,和用点斜式求直线方程,属于基础题。
6. 已知f(x)=,则f [f(-2)]=( ).
A.-1 B. 0 C. 2 D.
参考答案:
7. 下列说法正确的为( )
A.幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点
B.均为不等于1的正实数,则
C.是偶函数
D.若,则
参考答案:
C
A中负指数幂不经过(0,0)点,所以错误;
B中,这是换底公式,故错误;
D中时,,故错误.
本题选择C选项.
8. ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
把角及函数名称变换为可用公式的形式.
【详解】
.
故选C.
【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式,解题关键是把函数名称和角变换成所用公式的形式.不同的变换所用公式可能不同.
9. 下列选项中的两个函数表示同一函数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
参考答案:
B
10. 设函数f(x)=(2a﹣1)x+b是R上的减函数,则有( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】一次函数的性质与图象;函数单调性的性质.
【分析】根据一次函数的单调性由x的系数可得2a﹣1<0,解可得答案.
【解答】解:∵函数f(x)=(2a﹣1)x+b是R上的减函数,
则2a﹣1<0
∴a<
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. =_____________ ;
参考答案:
12. 如图, 在直角坐标系中,锐角内接于单位圆, 已知平行于轴, 且,记 , 则 .
参考答案:
13. 若集合为{1,a,}={0,a2,a+b}时,则a﹣b= .
参考答案:
﹣1
【考点】集合的相等.
【分析】利用集合相等的概念分类讨论求出a和b的值,则答案可求.
【解答】解:由题意,b=0,a2=1
∴a=﹣1(a=1舍去),b=0,
∴a﹣b=﹣1,
故答案为﹣1.
14. 已知由正数组成的等比数列,公比,且…,
则…=__________.
参考答案:
略
15. 在二项式(1+x)n(n∈N*)的展开式中,存在着系数之比为5:7的相邻两项,则指数n的最小值为 .
参考答案:
11
【考点】DC:二项式定理的应用.
【分析】由题意可得: =,可得:12r+7=5n,可得n为奇数.经过验证:n=1,3,…,即可得出.
【解答】解:由题意可得: =,
可得:12r+7=5n,n为奇数,
经过验证:n=1,3,…,
可得n的最小值为11.
故答案为:11.
16. 直线的倾斜角为______.
参考答案:
【分析】
先求得直线的斜率,进而求得直线的倾斜角.
【详解】由于直线的斜率为-1,故倾斜角为.
【点睛】本小题主要考查由直线一般式方程求斜率,考查斜率和倾斜角的对应关系,属于基础题.
17. 函数的定义域是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)计算下列各题:
(2)2lglg49.
参考答案:
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题;函数思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】(1)利用有理指数幂的运算法则化简求解即可.
(2)利用对数运算法则化简求解即可.
【解答】解:(1)
=0.4﹣1﹣1+﹣4+2﹣3+0.1
=﹣1++
=…
(2)2lglg49
=2lg5﹣2lg3﹣lg7+2lg2+2lg3+lg7
=2lg5+2lg2
=2 …(14分)
【点评】本题考查对数与已经在什么的运算法则的应用,考查计算能力.
19. (12分)已知函数f(x)=4cosxsin(x+)﹣1.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值及此时的x的值;
(2)若f(α)=,求sin(﹣4α).
参考答案:
考点: 三角函数的最值.
专题: 三角函数的求值.
分析: (1)化简可得f(x)=2sin(2x+),由x∈结合三角函数的最值可得;
(2)由题意可得sin(2α+)=,由诱导公式和二倍角公式可得sin(﹣4α)=1﹣2sin2(2α+),代值计算可得.
解答: (1)化简可得f(x)=4cosxsin(x+)﹣1
=4cosx(sinx+cosx)﹣1
=sin2x+cos2x=2sin(2x+),
∵x∈,
∴当x=﹣时,f(x)取最小值﹣1,
当x=时,f(x)取最大值2;
(2)由题意f(α)=2sin(2α+)=,
∴sin(2α+)=,
∴sin(﹣4α)=sin
=cos(4α+)=1﹣2sin2(2α+)=
点评: 本题考查三角函数的最值,涉及三角函数公式的应用和诱导公式,属基础题.
20. 如图,△ABC中,O是BC的中点,AB=AC,AO=2OC=2.将△BAO沿AO折起,使B点与图中B'点重合.
(Ⅰ)求证:AO⊥平面B′OC;
(Ⅱ)当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时,求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问在线段B′A上是否存在一点P,使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为?证明你的结论.
参考答案:
【考点】MT:二面角的平面角及求法;LW:直线与平面垂直的判定;MI:直线与平面所成的角.
【分析】(Ⅰ)证明AO⊥OB',AO⊥OC,然后利用直线与平面垂直的判定定理证明AO⊥平面B'OC.
(Ⅱ)在平面B'OC内,作B'D⊥OC于点D,判断当D与O重合时,三棱锥B'﹣AOC的体积最大,
解法一:过O点作OH⊥B'C于点H,连AH,说明∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角,然后就三角形即可得到结果.解法二:依题意得OA、OC、OB'两两垂直,分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz,求出平面B'OC的法向量为,求出平面AB'C的法向量为,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值.(Ⅲ)解法一:存在,且为线段AB'的中点,证明设,求出,以及平面B'OA的法向量,利用空间向量的距离公式求解即可.
解法二:连接OP,因为CO⊥平面B'OA,得到∠OPC为CP与面B'OA所成的角,通过就三角形即可求出即P为AB'的中点.
【解答】解:(Ⅰ)∵AB=AC且O是BC中点,∴AO⊥BC即AO⊥OB',AO⊥OC,
又∵OB'∩OC=O,∴AO⊥平面B'OC…
(Ⅱ)在平面B'OC内,作B'D⊥OC于点D,则由(Ⅰ)可知B'D⊥OA
又OC∩OA=O,∴B'D⊥平面OAC,即B'D是三棱锥B'﹣AOC的高,
又B'D≤B'O,所以当D与O重合时,三棱锥B'﹣AOC的体积最大,
…
解法一:过O点作OH⊥B'C于点H,连AH,由(Ⅰ)知AO⊥平面B'OC,
又B'C?平面B'OC,∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O,∴B'C⊥平面AOH,∴B'C⊥AH,
∴∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角.…,∴,
∴,
故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值为…
解法二:依题意得OA、OC、OB'两两垂直,分别以射线OA、OC、OB'
为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz,
设平面B'OC的法向量为,可得
设平面AB'C的法向量为,由…,
故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值为:.…
(Ⅲ)解法一:存在,且为线段AB'的中点
证明如下:设…
又平面B'OA的法向量,
依题意得…
解得舍去)…
解法二:连接OP,因为CO⊥平面B'OA,
所以∠OPC为CP与面B'OA所成的角,…
故,,∴…
又直角OB'A中,OA=2,OB'=1,∴即P为AB'的中点…
21. 已知函数的最小正周期为
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)若不等式|f(x)﹣m|<2在x∈上恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】3R:函数恒成立问题;GI:三角函数的化简求值;H4:正弦函数的定义域和值域.
【分析】(I)利用二倍角公式降次升角,通过两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式,根据周期公式求ω;
(II)结合x 的范围求出表达式相位的范围,确定表达式的范围,求出最值,利用不等式恒成立确定m 的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ) =
==2分
f(x) 的最小正周期为,∴=,∴…4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,5分
当 x∈时,有…7分
∴若不等式|f(x)﹣m|<2 在x∈上恒成立,
则有﹣2<f(x)﹣m<2,即f(x)﹣2<m<f(x)+2
在x∈上恒成立,…9分
∴(f(x)﹣2)max<m<(f(x)+2)min,
f(x)max﹣2<m<f(x)min+2…11分
∴0<m<1…12分
22. 已知||=1,||=,与的夹角为θ.
(1)若∥,求?;
(2)若﹣与垂直,求θ.
参考答案:
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】(1)利用向量共线直接写出夹角,然后利用向量的数量积求解即可.
(2)