2023年山西省阳泉市乡东木口中学高二数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆的方程为,若抛物线过点,且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
2. “a=3”是“直线y=x+4与圆(x﹣a)2+(x﹣3)2=8相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与圆的位置关系.
【分析】直线与圆相切,?或a=﹣5,由此能得到正确结果.
【解答】解:若直线与圆相切,
则或a=﹣5,
所以“a=3”是“直线y=x+4与圆(x﹣a)2+(x﹣3)2=8相切”的充分不必要条件.
故选A.
3. 设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则的值等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】球内接多面体;球的体积和表面积.
【分析】设出正方体的棱长,然后求出正方体的表面积,求出正方体的体对角线的长,就是球的直径,求出球的表面积,即可得到二者的比值.
【解答】解:设正方体的棱长为:1,
所以正方体的表面积为:S2=6;
正方体的体对角线的长为:,就是球的直径,
所以球的表面积为:S1==3π.
所以==.
故选D.
【点评】本题考查球的体积表面积,正方体的外接球的知识,仔细分析,找出二者之间的关系:正方体的对角线就是球的直径,是解题关键,本题考查转化思想,是基础题.
4. 如上图程序运行后,输出的结果为 ( )
A.7 B.8 C.3,4,5,6,7 D.4,5,6,7,8
参考答案:
D
5. 设,若存在,使,则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
6. 若是方程的解,则属于区间( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 工人月工资(元)依生产率(千元)变化的回归方程为,下列判断正确的是 ( )
A.劳动生产率为1000元时,工资为130元
B.劳动生产率提高1000元,则工资提高80元
C.劳动生产率提高1000元,则工资提高130元
D.当月工资为210元时,劳动生产率为2000元
参考答案:
B
8. 设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是( ).
参考答案:
D
略
9. 在△ABC中,已知∠A:∠B=1:2,角C的平分线CD把三角形面积分为4:3两部分,则cosA=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】两角和与差的余弦函数.
【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值;解三角形.
【分析】由A与B的度数之比,得到B=2A,且B大于A,可得出AC大于BC,利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为4:3,得到BC与AC之比,再利用正弦定理得出sinA与sinB之比,将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简,即可求出cosA的值.
【解答】解:∵A:B=1:2,即B=2A,
∴B>A,
∴AC>BC,
∵角平分线CD把三角形面积分成4:3两部分,
∴由角平分线定理得:BC:AC=BD:AD=3:4,
∴由正弦定理=得:=,
整理得:==,
则cosA=.
故选:B.
【点评】此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:正弦定理,角平分线定理,以及二倍角的正弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键,属于中档题.
10. 在平行六面体中,设,则等于( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,,且对任意都有:
① ②
给出以下三个结论:
(1); (2); (3)
其中正确结论为
参考答案:
12. 命题“”的否定是 ▲ .
参考答案:
使得 2. 3.
13. 若随机变量X~B(10,),则方差DX= .
参考答案:
考点:二项分布与n次独立重复试验的模型.
专题:计算题;概率与统计.
分析:由公式可得DX=np(1﹣p),即可得出结论.
解答: 解:由公式可得DX=np(1﹣p)=10×=.
故答案为:.
点评:本题考查离散型随机变量的方差的求法,公式的应用,考查计算能力.
14. 已知{an}是公差为d的等差数列,a1=1,如果a2?a3<a5,那么d的取值范围是 .
参考答案:
【考点】等差数列的性质.
【分析】利用等差数列的通项公式,结合a2?a3<a5,得到d的关系式,求出d的范围即可.
【解答】解:{an}是公差为d的等差数列,a1=1,∵a2?a3<a5,
∴(1+d)(1+2d)<1+4d,
即2d2﹣d<0,解得d.
故答案为:.
【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用,考查计算能力.
15. 已知正数x,y满足,则的最小值为_______.
参考答案:
8
16. “”是“一元二次方程”有实数解的 条件. (选填“充要”, “充分不必要”,“必要不充分”中的一个)
参考答案:
充分不必要
17. 8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第3、4名,大师赛共有________场比赛.
参考答案:
16
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列满足:,.的前项和为.求及;
(2)令,求数列的前项和.
参考答案:
(1)设等差数列的首项为,公差为.
由于,则解得.
所以,
.
(2)因为,
所以.
因此
.
所以数列的前项和为=.
略
19. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(,0),P(cosα,sinα),其中0≤α≤.
(1)若cosα=,求证:⊥;
(2)若∥,求sin(2α+)的值.
参考答案:
(1)法一:由题设,知=(-cosα,-sinα),
=(-cosα,-sinα),
所以·=(-cosα)(-cosα)+(-sinα)2
=-cosα+cos2α+sin2α
=-cosα+1.
因为cosα=,所以·=0.故⊥.
法二:因为cosα=,0≤α≤,所以sinα=,
所以点P的坐标为(,).
所以=(,-),=(-,-).
·=×(-)+(-)2=0,故⊥.
(2)由题设,知=(-cosα,-sinα),
=(-cosα,-sinα).
因为∥,所以-sinα·(-cosα)-sinαcosα=0,即sinα=0.
因为0≤α≤,所以α=0.
从而sin(2α+)=.
20. 如图,已知梯形与梯形全等,,,,,,为中点.
(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)点在线段上(端点除外),且与平面
所成角的正弦值为,求的值.
参考答案:
【命题意图】本题考查线面平行的判定、线面垂直的判定、直线与平面所成角的求解及空间向量的坐标运算基础知识;考査空间观念、运算求解能力;考査化归与转化思想、函数与方程思想等.
【试题简析】
(Ⅰ)证明:方法一:设为中点,连结,因为为中点,
所以是的中位线,.
由已知,所以,因此四边形是平行四边形,
所以.
又平面,平面,所以平面.
方法二:延长线段,,交于点,连结,由,则是的中点,又是的中点,所以是的中位线,所以.
又平由,平面,所以平面.
(Ⅱ)由梯形与梯形全等,
因为,,
所以,.
中,,
所以.因为,
故有,从而,
又因为,,所以平面.
以为坐标原点,,,的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立空间直角坐标系.设点在上,且,,,
,,所以,
设是平面的个法向量,则
即取
,
故.
设与平面所成角为,
则,即.
解得,(舍去),故.
21. (本题满分14分)
已知椭圆:长轴长是短轴长的倍,且经过点,直线与椭圆交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若圆与轴相交,求实数的取值范围;
(3)设是圆上的动点,当变化时,求的最大值.
参考答案:
解:(1)依题意得:, -----1分 且经过点
所以 --------3分
即椭圆的方程为. --------4分
(2)由题意知.
, --------5分
所以圆的半径为. ----------6分
因为圆与轴相交,且圆心到轴的距离, ----------7分
所以,
即实数的取值范围. -----------8分
(3)圆的的方程为.
因为点在圆上,所以. -----------9分
因为, ----------10分
故只需求的最大值. -----------11分
(时,等号成立). --------12分
法一:设,则,
当,即,且时,取最大值2. ks5u ------14分
22. 已知复数,根据以下条件分别求实数m的值或范围.
(1)z是纯虚数;
(2)z对应的点在复平面的第二象限.
参考答案:
(1);(2)或
试题解析:(1)由是纯虚数得
即 所以m=3
(2)根据题意得,
由此得,
即或