2022-2023学年湖南省张家界市中湖中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为( )
A.R B. (–∞,1)∪(1, ∞) C. (–∞,1) D. (1, ∞)
参考答案:
D
略
2. 投掷两粒骰子,得到其向上的点数分别为m、n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 不等式对一切R恒成立,则实数a的取值范围是( )[来
A.[2,6) B.(2,6) C.(-∞,2]∪(6,+∞) D.(-∞,2)∪(6,+∞)
参考答案:
A
4. 若函数,则( )
A. e B. 4 C. D. 1
参考答案:
C
【分析】
利用分段函数的解析式先计算出的值,再计算出的值.
【详解】,,因此,,故选:C.
【点睛】本题考查分段函数值的计算,解题时要充分利用分段函数的解析式,对于多层函数值的计算,采用由内到外逐层计算,考查计算能力,属于基础题.
5. 等差数列a1,a2,a3,…,an的公差为d,则数列ca1,ca2,ca3,…,can(c为常数,且c≠0)是( )
(A) 公差为d的等差数列 (B) 公差为cd的等差数列
(C) 非等差数列 (D)可能是等差数列,也可能不是等差数列
参考答案:
B
略
6. 如果方程表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数的取值范围是[Z,X,X, K]
A.(0, +∞) B.(0, 2) C.(1, +∞) D.(0, 1)
参考答案:
D
略
7. 直线与圆的位置关系是
A.相交 B.相切 C.相离 D.与值有关
参考答案:
8. 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线
经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点、是它的焦点,长轴
长为,焦距为,静放在点的小球(小球的半径不计),从点沿直线出发,经椭圆
壁反弹后第一次回到点时,小球经过的路程是( )
A. B. C. D.以上答案均有可能
参考答案:
D
9. 数列1,2,4,8,16,32,…的一个通项公式是( )
A.an=2n﹣1 B.an=2n﹣1 C.an=2n D.an=2n+1
参考答案:
B
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】观察此数列是首项是1,且是公比为2的等比数列,根据等比数列的通项公式求出此数列 的一个通项公式.
【解答】解:由于数列1,2,4,8,16,32,…的第一项是1,且是公比为2的等比数列,
故通项公式是 an=1×qn﹣1=2n﹣1,故此数列的一个通项公式an=2n﹣1,
故选B.
10. 阅读如图所示的程序框图,则输出的S=( )
A.45 B.35
C.21 D.15
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如右图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______ 。
参考答案:
12π
12. 已知函数f(x)=2x3+3x2+6x﹣5,则f′(0)= .
参考答案:
6
【考点】导数的运算.
【分析】根据导数的运算法则计算即可.
【解答】解:∵f(x)=2x3+3x2+6x﹣5,
∴f′(x)=6x2+6x+6
∴f′(0)=6,
故答案为:6
13. 若x、y满足条件,z = x+3y的最大值为
参考答案:
11
14. 已知Sn为数列{an}的前n项和,,,则________.
参考答案:
15. 一个正三棱锥(底面是等边三角形,顶点在底面内的射影是底面等边三角形的中心的三棱锥)的底面边长为6,侧棱长为,那么这个正三棱锥的体积是
参考答案:
9
16. 函数在定于与上单调递减,则
参考答案:
17. 已知函数,则________;
参考答案:
【分析】
直接求导即可
【详解】因为,进行求导得.将代入得.故.
【点睛】此题是关于求导运算的基础题
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,AB是圆O的直径,C是圆O上不同于A,B的一点,PA⊥平面ABC,E是PC的中点,,PA=AC=1.
(1)求证:AE⊥PB;
(2)求二面角A﹣PB﹣C的正弦值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)由线面垂直得PA⊥BC,由圆O的直径,得AC⊥BC,从而AE?平面PAC,进而BC⊥AE,由等腰三角形性质得AE⊥PC,由此能证明AE⊥PB.
(2)过A作AF⊥PB交PB于F,连接EF,推导出∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角,由此能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值.
【解答】证明:(1)∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC
∴PA⊥BC,
又AB是圆O的直径,C是圆O上不同于A,B的一点
∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,又PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC,又AE?平面PAC
∴BC⊥AE…
∵PA=AC,E是PC的中点
∴AE⊥PC,又BC∩PC=C
∴AE⊥平面PBC,又PB?平面PBC
∴AE⊥PB. …
解:(2)过A作AF⊥PB交PB于F,连接EF
又由(1)得AE⊥PB,AE∩AF=A
∴PB⊥平面AEF,又EF?平面AEF
∴PB⊥EF,又AF⊥PB
∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角…
∵在Rt△PAC中,PA=AC=1,则,
在Rt△PAB中,PA=1,,同理得
∴在Rt△AEF中,
故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为.…
19. 已知函数,集合
(1)求A;
(2)若,求证:
参考答案:
(1);(2)见解析
试题分析:(1)先根据绝对值定义,将函数化为分段函数的形式,画出图像,根据图象即可求得;(2)结合(1)得,作差,化简即可得证.
试题解析:(1)函数
首先画出与的图象如图所示:
可得不等式解集为:.
(2) ∵
∴.
∴
∴,故.
20. 设a≥0,=x-1-ln2x+2alnx.
(1)令F(x)=x,讨论F(x)的单调性并求极值;
(2)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1.
参考答案:
解:(1)∵=1-,∴F(x)=x-2lnx+2a,∴=1-(x>0),
由>0得:x>2,<0得:00),
∴≥·(ln+2a)>0,∴在(0,+∞)上为增函数,
∴当x>1时,>,∴x-1-ln2x+2alnx>1-1-0+0,
即x-1-ln2x+2alnx>0,∴x>ln2x-2alnx+1.
略
21. (本小题满分12分)
已知命题:“函数在上单调递减”,
命题:“,”,
若命题“且”为真命题,求实数的取值范围.
参考答案:
解:P为真:
当时,只需对称轴在区间的右侧,即
∴ --------------------5分
为真:命题等价于:方程无实根.
∴ -----------------10分
∵ 命题“且”为真命题 ∴ ∴ . …12分
略
22. (本小题满分14分)已知函数
(1)若函数在上为增函数,求正实数的取值范围;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,求证:对大于的任意正整数,都有。
参考答案:
解:(1)∵ ∴ ......1
∵ 函数在上为增函数 ∴ 对恒成立
对恒成立,即对恒成立∴ 4分
(2),
当时,对恒成立,的增区间为 ......5
当时,,
的增区间为,减区间为()......6