2022年广东省深圳市罗芳中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量，下列向量中与平行的向量是 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
2. 若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（ ）
A．2﹣ B．﹣1 C．3+2 D．3﹣2
参考答案：
C
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心，可得a+b=1．再根据+=+=3++，利用基本不等式求得它的最小值．
【解答】解：由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心（1，2），
故有2a+2b=2，即a+b=1．
再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，
故+的最小值是3+2，
故选：C．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．
3. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
使用智能手机
不使用智能手机
合计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
合计
20
10
30
附表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算，则下列选项正确的是
A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
参考答案：
A
根据附表可得k=10>7.879,所以有的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A
4. 已知双曲线C:的左、右焦点分别是、，一条渐近线方程为，抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合，点在双曲线上.则·＝（ ）
A. 4 B. 0 C. -1 D.-2
参考答案：
B
略
5. 下面是按一定规律排列的一列数
第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
……
第个数：．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是( )
A．第13个数 B．第12个数 C．第11个数 D．第10个数
参考答案：
D
略
6. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为,则的值为 （ ）
参考答案：
D
略
7. 命题：“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
参考答案：
A
略
8. 已知数列满足递推关系，（其中为正常数，）且.若等式成立，则正整数的所有可能取值之和为（ ）
A．3 B．4 C. 6 D．8
参考答案：
B
由已知有是公差为的等差数列， 是公比为的等比数列，所以 ，解得（舍去），所以，故数列中的项分别为，若满足，当或时，等式成立，当的值越大，的值就越大，此时与不可能相等，故正整数的所有可能取值之和为4，选B.
9. 在空间中，下列命题正确的是 （ ）
A．两条平行直线在同一个平面之内的射影是一对平行直线
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
参考答案：
D
略
10. 将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c，则方程有相等实根的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 与圆上任一点连线的中点轨迹方程为 ；
参考答案：
12. 将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100= ．
参考答案：
5252
【考点】数列递推式．
【分析】根据题意，分析所给的图形可得an﹣an﹣1=n+2（n≥2），结合a1的值，可得a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99），代入数据计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分析相邻两个图形的点数之间的关系：
a2﹣a1=4，
a3﹣a2=5，
…
由此我们可以推断：an﹣an﹣1=n+2（n≥2），
又由a1=5，
所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=5+4+5+…+102=5+=5252；
即a100=5252；
故答案为：5252．
13. 设函数f(x)＝ax＋(x>1)，其中a>0. 若a从1,2,3三个数中任取一个数， b从2,3,4,5四个数中任取一个数，求f(x)>b恒成立的概率 ．
参考答案：
略
14. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)。
参考答案：
140
15. 抛物线y=4x2的准线方程为 ．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．
【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=
∵抛物线方程开口向上，
∴准线方程是y=﹣
故答案为：．
16. 已知奇函数的图象关于直线对称，且，则 ．
参考答案：
－3
17. 直线与圆相交于A、B两点，则 .
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。
参考答案：
19. (1)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，
①当x、y为何值时，a与b共线？
②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角．
参考答案：
(1)①∵a与b共线，
∴存在非零实数λ使得a＝λb，
∴?
②由a⊥b?(2x－y＋1)×2＋(x＋y－2)×(－2)＝0
?x－2y＋3＝0.(*)
由|a|＝|b|?(2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.(* *)
解(*)(* *)得或
∴xy＝－1或xy＝．
(2)∵m·n＝|m||n|cos60°＝，
∴|a|2＝|2m＋n|2＝(2m＋n)·(2m＋n)＝7，
|b|2＝|－3m＋2n|2＝7，
∵a·b＝(2m＋n)·(－3m＋2n)＝－．
设a与b的夹角为θ，
∴cosθ＝＝－，∴θ＝120°.
20. 过抛物线 =4 的焦点F的一条直线与这条抛物线相交于A（，）、B(，)两点，求＋的值。
参考答案：
解析：当k不存在时，直线方程为x=1, 此时＝1，＝－4，所以＋＝－3。
当k存在时，由题可得F（1，0），设直线方程为y=kx－k,代入抛物线方程消去y可得，
,＝1，再把直线方程代入抛物线方程消去x可得， =－4，＋＝－3
21. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.
（1）试求动点P的轨迹方程C.
（2）设直线与曲线C交于M、N两点，求|MN|
参考答案：
略
22. 本公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
参考答案：
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图：
作直线，
即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得．
点的坐标为．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．