2022-2023学年湖南省衡阳市卿云中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 给出下列命题：
①已知，“且”是“”的充分条件；
②已知平面向量，“”是“”的必要不充分条件；
③已知 ，“”是“”的充分不必要条件；
④命题“，使且”的否定为“，都有使且”，其中正确命题的个数是（ ）
A． 0 B．1 C. 2 D．3
参考答案：
C
2. 若集合,,则 （ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
3. 设定义在B上的函数是最小正周期为的偶函数，的导函数，当则方程上的根的个数为
A．2 B．5 C．4 D．8
参考答案：
C
由知，当时，导函数，函数递减，当时，导函数，函数递增.由题意可知函数的草图为，由图象可知方程上的根的个数为为4个，选C.
4.
已知集合，则集合N的真子集个数为（ ）
A．3；B．4
C．7
D．8
参考答案：
B
5. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是
（A） （B）
（C） （D）
参考答案：
D
6. 已知全集则集合{1,6}= （ ）
A．M B．N C． D．
参考答案：
C
7. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．内含
参考答案：
B
略
8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=﹣，且满足Sn++2=an（n≥2）．则S2014等于（ ）
A．﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
参考答案：
D
9. 阅读如下程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填人的条件是 ( )
A. S<8? B. S<12? C. S<14? D. S<16?
参考答案：
B
略
10. 函数（)的图象如图所示，则的值为
A． B． C． D．
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）下列说法中，正确的有 （把所有正确的序号都填上）．
①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”；
②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；
③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是真命题；
④函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个；
⑤dx等于．
参考答案：
①⑤
【考点】： 命题的真假判断与应用．
【专题】： 简易逻辑．
【分析】： 通过命题的否定判断①的正误；函数的周期判断②的正误；命题的否命题的真假判断③的正误；函数的零点的公式判断④的正误；定积分求出值判断⑤的正误．
【解答】： 解：对于①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以①正确；
对于②，函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函数的最小正周期，所以②不正确；
对于③，命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是：若f'（x0）=0，则函数f（x）在x=x0处有极值，显然不正确．利用y=x3，x=0时，导数为0，但是x=0不是函数的极值点，所以是真命题；
所以③不正确；
对于④，由题意可知：要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，
只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象，由图象可得有3个交点．
所以④不正确；
对于⑤，dx的几何意义是半圆的面积，圆的面积为π，dx=．所以⑤正确；
故答案为：①⑤．
【点评】： 本题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定，零点判定定理，定积分的求法，函数的周期等知识，考查基本知识的应用．
12. 定义在 上的函数满足：①（c为正常数）；②当时，.若函数的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于_____
参考答案：
1或2
略
13. 执行如图所示的伪代码,输出的结果是 ▲ .
参考答案：
答案：25
14. 若，则= ．
参考答案：
【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．
【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵，
∴=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=．
故答案为：．
15. 已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为 ．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等边三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，然后求其体积．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
底面为等边三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，
故底面外接圆半径r=2，
球心到底面的距离d=2，
故球半径R==2，
故球的体积V==，
故答案为：
16. 设函数是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则
参考答案：
17. 已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________.
参考答案：
3
【详解】∵f(x)＝
∴f(－2)=，∴f(f(－2))＝f()=
故答案为：3
点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出f(－2) 的值，进而得到f(f(－2))的值.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，四边形是边长为的正方形，平面平面，
, ．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
参考答案：
见解析
（Ⅰ）因为平面平面，
平面平面，且，所以平面.
因为平面，所以．
又因为四边形为正方形，所以．
因为，所以平面．
（Ⅱ）设，
因为四边形为正方形，
所以为中点．
设为的中点，连结，
则，且．
由已知，且，
则且
所以四边形为平行四边形.
所以，即．
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知平面，
因为，所以平面，
所以．
又因为四边形为正方形，所以，
所以平面．
由（Ⅱ）可知，平面，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以 ．
因为．
所以．
故三棱锥的体积为．
19. 已知函数
<1>求的定义域及最小正周期；
<2>求的单调递减区间。
参考答案：
<1>由故的定义域为 3分
因为
=
所以的最小正周期 7分
<2> 函数的单调递减区间为
由
得
所以的单调递减区间为 14分
略
20. (本小题满分12分）
鹰潭一中高三某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查。
（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；
（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5， 表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求
参考答案：
略
21. 已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．
参考答案：
【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式求最值，即可求a的值；
（Ⅱ）作差，利用基本不等式证明结论．
【解答】（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|
∵对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，
∴a=3；
（Ⅱ）证明：2m+﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+，
∵m＞n＞0，
∴（m﹣n）+（m﹣n）+≥3=3，
∴2m+﹣2n≥3，
即2m+≥2n+a．
22. （本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．
如图，在直角梯形中，，，，点是的中点，现沿将平面折起，设．
（1）当为直角时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当为多少时，三棱锥的体积为．
参考答案：
【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.
（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.
【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.
（2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.
【参考答案】（1）当为直角时,即两两互相垂直，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分
则,, ……3分
设异面直线与所成角为,则
………………5分
故异面直线与所成角为．…7分
MHLD1
图（1）
（2）沿将平面折起的过程中，始终
有，，，由
得 ……………………9分
， ……………………12分
或． ……………………………14分
MHLD2
图（2）