2022-2023学年黑龙江省伊春市宜春石市中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数 ,其中常数满足.若函数(其中 是函数的导数)是偶函数,则等于
A. B.
C. D.
参考答案:
A
2. 中国古代钱币(如图1)承继了礼器玉琮的观念,它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息,表现为圆形方孔.如图2,圆形钱币的半径为2cm,正方形边长为1cm,在圆形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
图1 图2
参考答案:
3. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )
A.2+ B.4+ C.2+2 D.5
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】根据三视图可判断直观图为:A⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EA=EB=1,OA=1,:BC⊥面AEO,AC=,OE=
判断几何体的各个面的特点,计算边长,求解面积.
【解答】解:根据三视图可判断直观图为:
OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,
EA=2,EC=EB=1,OA=1,
∴可得AE⊥BC,BC⊥OA,
运用直线平面的垂直得出:BC⊥面AEO,AC=,OE=
∴S△ABC=2×2=2,S△OAC=S△OAB=×1=.
S△BCO=2×=.
故该三棱锥的表面积是2,
故选:C.
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力,计算能力,关键是恢复直观图,得出几何体的性质.
4. 已知向量与的夹角为θ,||=2,||=1, =t, =(1﹣t),||在t0时取最小值,当0<t0<时,cosθ的取值范围为( )
A.(﹣,0) B.(﹣,﹣) C.(,1) D.(﹣,)
参考答案:
D
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】由向量的运算求得=(5+4cosθ)t2+(﹣2﹣4cosθ)t+1,由二次函数知,当上式取最小值时,t0=,根据0<<,能求出cosθ的取值范围.
【解答】解:由题意得:
=2×1×cosθ=2cosθ,
==(1﹣t)﹣t,
∴=(1﹣t)2?+﹣2t(1﹣t)?
=(1﹣t)2+4t2﹣4t(1﹣t)cosθ=(5+4cosθ)t2+(﹣2﹣4cosθ)t+1,
由二次函数知,当上式取最小值时,,
∵0<t0<,∴0<<,
解得﹣<cosθ<.
∴cosθ的取值范围为(﹣).
故选:D.
【点评】本题考查向量数量积与向量的夹角,考查二次函数、三角函数、向量、分式不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、运动与方程思想,考查应用意识、创新意识,是中档题.
5. 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分,则k的值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. (5分)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数,记为a,b,则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】: 椭圆的简单性质.
【专题】: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】: 表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时,(a,b)点对应的平面图形的面积大小和区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数(a,b)点对应的平面图形的面积大小,并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解.
解:∵表示焦点在x轴上且离心率小于,
∴a>b>0,a<2b
它对应的平面区域如图中阴影部分所示:
则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为
P==,
故选B.
【点评】: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.
7. 已知集合,.若A=B,则a的值为()
A.2 B.1 C.-1 D. -2
参考答案:
A
因为A=B,所以2∈B,可得a=2.
8. 已知A={0,1},B={-1,0,1},f是从A到B的映射,则满足f(0)>f(1)的映射有 ( ) ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.2个
参考答案:
A
略
9. 如右图,在平行四边形中,O是对角线AC,BD的交点,
N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法
错误的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
10. 已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),若bn+1=(n﹣2λ)?(+1)(n∈N*),b1=﹣λ,且数列{bn}是单调递增数列,則实数λ的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】数列递推式.
【分析】由数列递推式得到{+1}是首项为2,公比为2的等比数列,求出其通项公式后代入bn+1=(n﹣2λ)?2n,由b2>b1求得实数λ的取值范围,验证满足bn+1=(n﹣2λ)?2n为增函数得答案.
【解答】解:由an+1=得,
则, +1=2(+1)
由a1=1,得+1=2,
∴数列{+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴+1=2×2n﹣1=2n,
由bn+1=(n﹣2λ)?(+1)=(n﹣2λ)?2n,
∵b1=﹣λ,
b2=(1﹣2λ)?2=2﹣4λ,
由b2>b1,得2﹣4λ>﹣λ,得λ<,
此时bn+1=(n﹣2λ)?2n为增函数,满足题意.
∴实数λ的取值范围是(﹣∞,).
故选:C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数为奇函数,则 .
参考答案:
12. 在中,是边中点,角,,的对边分别是,,,若,则的形状为 。
参考答案:
等边三角形
13. 若函数定义域为R,则的取值范围是________.
参考答案:
14. 已知实数满足约束条件,则的最小值是 .
参考答案:
略
15. 设为虚数单位,则=___.
参考答案:
1
16. 如图是一个算法的流程图,则输出的n的值是 .
参考答案:
3
【考点】EF:程序框图.
【分析】由已知的程序框图可知,该程序的功能是利用循环计算a值,并输出满足a≥20的最小n值,模拟程序的运行过程可得答案.
【解答】解:模拟程序的运行过程可得:
当n=1,a=2时,满足进行循环的条件,执行循环后,a=8,n=2;
当n=2,a=8时,满足进行循环的条件,执行循环后,a=26,n=3;
当n=3,a=26时,不满足进行循环的条件,退出循环.
故输出n值为3.
故答案为:3.
17. 已知函数,若,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,设直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;(4分)
(2)设曲线与直线相交于两点,以为一条边作曲线的内接矩形,求该矩形的面积.(8分)
参考答案:
(1) (2) 解析:解:(1)对于:由,得,进而. 2分
对于:由(为参数),得,即. 4分
(2)由(1)可知为圆,圆心为,半径为2,弦心距, 6分.
弦长, 8分.
因此以为边的圆的内接矩形面积-------------------------12分
略
19. (本小题满分12分)如图,平面ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2,,P、Q分别为DE、
AB的中点。
(Ⅰ)求证:PQ//平面ACD;
(Ⅱ)求几何体B—ADE的体积;
(Ⅲ)求平面ADE与平面ABC所成锐二面角的正切值。
参考答案:
(本小题共12分)*K*s*5*u
(Ⅰ)证明:取的中点,连接,易证平面
又…………………… (4分)
(Ⅱ)… (6分)
…………………………… (8分)
(Ⅲ)
(10分)
…………………… (12分)
注:用向量法请对应给分.
(法2)解:以C为原点,CA、CB、CD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系C-xyz,则A(2,0,0)B(0,2,0)C(0,0,0)D(0,0,1)E(0,2,2)则 设面ADE法向量为
则
可取
即面ADE与面ABC所成的二面角余弦值为
易得面ADE与面ABC所成二面角的正切值为…………… (12分)
略
20. (本小题满分10分)已知函数,求函数,的解析式。
参考答案:
= =
21. 已知椭圆C:的离心率为,长轴长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线交椭圆C于A、B两点,试问:在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(II)当时,直线与椭圆交于两点的坐标分别为,
设y轴上一点,满足, 即,
∴解得或(舍),
则可知满足条件,若所求的定点M存在,则一定是P点.……………………6分
下面证明就是满足条件的定点.
设直线交椭圆于点, .
解法2:
∴
……………………………10分
整理得,
由对任意k都成立,得
且
解得 ……………………………11分
所以存在点满足. ……………………………12分
考点:椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,平面向量的坐标运算.
略
22. (本小题满分12分)如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2
的正方形,AE=EB,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.
(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角B—AC—E的正弦值;
(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.
参考答案:
(Ⅰ)∵ BF⊥平面AEC,∴ BF⊥AE,
∵ 二面角D—AB—E为直二面角,
∴ 平面ABCD⊥平面ABE,
又BC⊥AB,∴ BC⊥平面ABE,∴ BC⊥AE,
又BF∩BC=B,∴ AE⊥平面BCE.
(Ⅱ)连接BD交AC于点G,连接FG,
∵ 四边形ABCD为正方形,∴ BD⊥AC,
∵ BF⊥平面ACE,∴ BF⊥AC,
又BD∩BF=B,∴ AC⊥平面BFG.
∴ FG⊥AC,∠FGB为二面角B—AC—E的平面角,由(Ⅰ)可知,AE⊥平面BCE,
∴ AE⊥EB,又AE=EB,AB=2,∴ AE=BE=,
在直角三角形BCE中,CE==,BF===,
在正方形ABCD中,BG=,
在直角三角形BFG中,sin∠FGB=== .
即二面角B—AC—E的正弦值为 .
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,在正方形ABCD中,BG=DG,点D到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离,而BF⊥平面ACE,则线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离,即为点D到平面ACE的距离.故点D到平面ACE的距离为= .