2022年云南省曲靖市罗平县环城乡第二中学高三数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义在R上的函数f(x)=e﹣|x|,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a
参考答案:
A
【考点】5B:分段函数的应用.
【分析】根据题意,分析可得f(x)为偶函数且在(0,+∞)上为减函数,由对数函数的性质比较可得log25>|log0.53|>0,结合函数的单调性分析可得答案.
【解答】解:根据题意,函数f(x)=e﹣|x|,其定义域为R,且f(﹣x)=e﹣|﹣x|=e﹣|x|=f(x),则f(x)为偶函数,
又由函数f(x)=e﹣|x|=,则函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,
而|log0.53|=log23,
又由log25>log23>0,即log25>|log0.53|>0,
又由函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,
则有b<a<c;
故选:A.
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用,关键是分析函数的奇偶性与单调性.
2. “a=﹣2”是“直线l1:ax﹣y+3=0与l2:2x﹣(a+1)y+4=0互相平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题: 简易逻辑.
分析: 根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案.
解答: 解:当a=﹣2时,l1:2x+y﹣3=0,l2:2x+y+4=0,两直线平行,是充分条件;
若直线l1:ax﹣y+3=0与l2:2x﹣(a+1)y+4=0互相平行,则a(a+1)=2,解得:a=﹣2,或a=1,不是必要条件,
故选:A.
点评: 本题考查了充分必要条件,考查了两直线平行的性质及判定,是一道基础题.
3. 已知双曲线 的左、右焦点分别是、过
垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N,若
为正三角形,则该双曲线的离心率为
A. B.
C. D.
参考答案:
A
4. .图象的一个对称中心是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 已知为虚数单位,若则复数所对应的点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
B
6. 设,则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
7.
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
8. 算法如图,若输入m=210,n=119,则输出的n为( )
A.2 B.3 C.7 D.11
参考答案:
C
【考点】EF:程序框图.
【分析】算法的功能辗转相除法求m、n的最大公约数,利用辗转相除法求出m、n的最大公约数可得答案.
【解答】解:由程序框图知:算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数,
当输入m=210,n=119,
则210=119+91;
119=91+28;
91=3×28+7,;
28=4×7+0.
∴输出n=7.
故选:C.
9. 已知集合A={(x,y)|y=x+1},B={(x,y)|y=4﹣2x},则A∩B=( )
A.{(1,2)} B.(1,2) C.{1,2} D.{(1,2),(﹣1,﹣2)}
参考答案:
A
【考点】交集及其运算.
【专题】方程思想;定义法;集合.
【分析】根据集合交集的定义转化求方程组的公共解即可.
【解答】解:∵A={(x,y)|y=x+1},B={(x,y)|y=4﹣2x},
∴A∩B={(x,y)|}={(x,y)|}={(1,2)},
故选:A.
【点评】本题主要考查集合的基本运算,根据集合交集的定义转化求方程组的公共解是解决本题的关键.
10. 已知定义在上以为周期的奇函数满足当时,,则
A.不存在 B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算定积分 .
参考答案:
12. 如图,在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2,使,,,依此类推,在正△A2B2C2内再作正△A3B3C3,….记正△AiBiCi的面积为ai(i=1,2,…,n),则a1+a2+…+an= .
参考答案:
【考点】数列的求和.
【专题】计算题.
【分析】先利用边长之间的关系得出三角形的面积组成以 1为首项,为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式进行求和
【解答】解:由,,,
∴tanB1=,∴=tanB1?||=||,
∴,
进而,
…
(i=1,2,…,n),
根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得:
Si+1=3Si(i=1,2,…,n),
即所作三角形的面积构成以1为 项,以为公比的等比数列
∴a1+a2+…+an==
故答案为:
【点评】本题主要考查等比数列的和的求解,关键是从实际问题中抽象出等比数列的模型,进而再利用等比数列的求和公式
13. 若双曲线与有相同的焦点,则实数m=_________.
参考答案:
4
【分析】
结合双曲线的几何性质,得到,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,双曲线与有相同的焦点,
可得,解得.
故答案为:4.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用,其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.
14. 观察下列等式,
24=7+9
34=25+27+29
44=61+63+65+67
…
照此规律,第4个等式可为 .
参考答案:
54=121+123+125+127+129
考点:归纳推理.
专题:推理和证明.
分析:观察可知每一行的数字都是连续的奇数,且奇数的个数等于所在的行数,每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数,
解答: 解:观察可知每一行的数字都是连续的奇数,且奇数的个数等于所在的行数,每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数,
设行数为n,用an1表示每行的第一个数,则an1=(n+1)3﹣n,
因此第4行的第一个数为:(4+1)3﹣4=121,
则第4个等式为54=121+123+125+127+129,
故答案为:54=121+123+125+127+129.
点评:本题解答的关键是发现规律,利用规律找出一般的解决问题的方法,进一步解决问题即可.
15. 若,其中为虚数单位,则_________.
参考答案:
略
16. 已知展开式的常数项是160,则由曲线y=x2和y=xa围成的封闭图形的面积为 .
参考答案:
【考点】定积分在求面积中的应用.
【分析】首先通过二项展开式求出a,然后利用定积分表示封闭图形的面积.
【解答】解:因为展开式的常数项是160,所以=160,解得a=,
所以由曲线y=x2和y=xa围成的封闭图形的面积为S===,
故答案为.
17. 在区间[-3,5]上随机取一个数,则使函数无零点的概率是_
参考答案:
.
几何概型,得.故概率为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)当时,恒成立,求的取值范围
参考答案:
考点:导数的综合运用利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义
试题解析:(Ⅰ)当时,
所以
切点为(1,,
所以切线为:
即切线。
(Ⅱ) 由题意即对一切恒成立
令,则,
当时,,故在上为增函数
,即在上为增函数
,故
19. 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60o,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(1)求证:BC⊥平面ACFE;
(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为≤90o),试求cos的取值范围。
参考答案:
(1)证明:在梯形ABCD中,
过C作CE//AD,中,
又
,
因为:平面ACFE平面ABCD, 平面ACFE∩平面ABCD=AC,
BC平面ABCD
所以,BC平面ACFE
(2)由(1)可以分别以直线CA,CB,CF为轴建立
空间直角坐标系,令FM=,则C(0,0,0),A(,B(0,1,0),M(
,设为平面MAB的一个法向量,
由 得: 取则
而平面FCB的法向量可取
由,当时,有最小值
当时,有最大值,cos的取值范围为[,]
略
20. 某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种,
方案一:每满200元减50元;
方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
(1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率;
(2)若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算?
参考答案:
(1)(2)方案二更为划算
【分析】
(1)设事件为“顾客获得半价”,可以求出,然后求出两位顾客都没有获得半价优惠的概率,然后利用对立事件的概率公式,求出两位顾客至少一人获得半价的概率;
(2)先计算出方案一,顾客付款金额,再求出方案二付款金额元的可能取值,求出,最后进行比较得出结论.
【详解】(1)设事件为“顾客获得半价”,则,
所以两位顾客至少一人获得半价的概率为:.
(2)若选择方案一,则付款金额为.
若选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为.
,
,
,
,
∴.
所以方案二更为划算.
【点睛】本题考查了对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、期望.考查了应用数学知识解决现实生活中实际问题的能力.
21. (本小题满分7分) 选修4—4:极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知曲线C的极坐标方程为.直线的参数方程为,曲线C与直线一个交点的横坐标为.
(Ⅰ)求的值及曲线的参数方程;
(Ⅱ)求曲线与直线相交所成的弦的弦长.
参考答案:
(Ⅰ)曲线的一般方程为,
曲线的参数方程为(为参数).……3分
(Ⅱ)圆的圆心,圆心到直线距离,则所求弦长为.7分
22. 在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知?=2,cosB=,b=3,求:
(Ⅰ)a和c的值;
(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.
参考答案:
【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数.
【专题】三角函数的求值.
【分析】(Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简?=2,将cosB的值代入求出ac=6,再利用余弦定理列出关系式,将b,cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13,联立即可求出ac的值;
(Ⅱ)由cosB的值,利用