2022年山东省聊城市史庄中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
已知= ( )
A.1 B.2 C.—2 D.
参考答案:
答案:C
2. 已知为非零实数,且,则下列命题成立的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 已知椭圆+=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A、B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的平方为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可求得AB的方程,设出P点坐标,代入AB得方程,由PF1⊥PF2,得?=0,结合椭圆的离心率的性质即可求得答案.
【解答】解:依题意,作图如下:A(﹣a,0),B(0,b),F1(﹣c,0),F2(c,0),
∴直线AB的方程为:椭圆+=1整理得:bx﹣ay+ab=0,
设直线AB上的点P(x,y)
则bx=ay﹣ab,
∴x=y﹣a,
∵PF1⊥PF2,
∴?=(﹣c﹣x,﹣y)?(c﹣x,﹣y)=x2+y2﹣c2
=()2+y2﹣c2,
令f(y)=()2+y2﹣c2,
则f′(y)=2(y﹣a)×+2y,
∴由f′(y)=0得:y=,于是x=﹣,
∴=(﹣)2+()2﹣c2=0,
整理得: =c2,又b2=a2﹣c2,e2=,
∴e4﹣3e2+1=0,
∴e2=,又椭圆的离心率e∈(0,1),
∴e2=.
椭圆的离心率的平方,
故选D.
4. 在等比数列中,则
A.3 B. C. D.
参考答案:
C
5. 已知命题p:,则
A.命题:,为假命题 B.命题:,为真命题
C.命题:,为假命题 D.命题:,为真命题
参考答案:
D
【分析】
命题的否定,必须同时改变两个地方:①:“?”;②:“>”即可,据此分析选项可得答案.
【详解】命题,则命题:,为真命题
故选:D
6. 平面向量a与b的夹角为,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |=
(A) (B)2 (C)4 (D)12
参考答案:
B
解析:由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12
∴
7. 已知数列{an}满足:则a20=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 如图,是一个几何体的三视图,其中主视图、左视图是直角边长
为2的等腰直角三角形,俯视图为边长为2的正方形,则此几何体的
表面积为( ).
(A)8+4 (B)8+4
(C) (D)8+2+2
参考答案:
A
【知识点】由三视图求面积、体积.B4
解析:由已知的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,棱锥的底面是边长为2的正方形,面积S=4,棱锥的高为2,故棱锥的侧面有两个是直角边长为2的等腰直角三角形,有两个是三边长为2,2,2的三角形,故棱锥的表面积为:4+2×+2×=8+4,故选:A.
【思路点拨】由已知的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,代入锥体体积公式,可得答案.
9. 给出右边的程序框图,那么输出的数是 ( )
A.2450 B.2550
C.5050 D.4900
参考答案:
A
略
10. 已知点F1是抛物线C:的焦点,点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点,过F2作抛物线C的切线,切点为A,若点A恰好在以F1,F2为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
C
由题意,得,设过的抛物线的切线方程为,联立,,令,解得,即,不妨设,由双曲线的定义得,,则该双曲线的离心率为.故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数的零点为-2,则a=________.
参考答案:
3
【分析】
根据题意,由函数零点的定义可得f(﹣2)=log2(a﹣2)=0,解可得a的值,即可得答案.
【详解】根据题意,若函数f(x)=log2(x+a)的零点为﹣2,
则f(﹣2)=log2(a﹣2)=0,即a﹣2=1,
解可得a=3,
故答案为:3
【点睛】本题考查函数的零点,关键是掌握函数零点的定义,属于基础题.
12. 如图,是⊙的直径,是⊙的切线,
与的延长线交于点,为切点.若,
,则的长为 .
参考答案:
略
13. 在等差数列中,,则数列的前11项和S11
等于 .
参考答案:
132
略
14. 已知函数,则不等式<0的解集为 。
参考答案:
15. 设[x]表示不大于x的最大整数,集合A={x|x2﹣2[x]=3},B={x|<2x<8},则A∩B= .
参考答案:
{﹣1,}
【考点】交集及其运算.
【专题】集合.
【分析】利用题中的新定义求出集合A中的方程,确定出A,求出B中不等式的解集确定出B,求出A与B的交集即可.
【解答】解:由集合A中的等式x2﹣2[x]=3变形得:x2=2[x]+3,由题意可知x2为整数,
而x2﹣2x﹣3=0的解为:x=﹣1或3,则[﹣1]=﹣1,[3]=3,
所以x2=2[x]+3=﹣2+3=1或x2=2×3+1=7,解得x=±1或x=±,
经检验:x=1,x=﹣不合题意舍去,所以x=﹣1或,
∴集合A={﹣1,},
由B中不等式变形得: 2﹣3<2x<23,即﹣3<x<3,
∴B={x|﹣3<x<3},
则A∩B={﹣1,},
故答案为:{﹣1,}
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
16. 已知函数,若关于x的方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 ;
参考答案:
做出函数的图象如图,由图象可知,要使有两个不同的实根,则有,即的取值范围是.
17. 函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数,函数若关于的方程在内有两个不同的解,则的值为
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,线段AB的两个端点A、B分别在x轴,y轴上滑动,,点M是线段AB上一点,且点M随线段AB的滑动而运动。
(I)求动点M的轨迹E的方程
(II)过定点N的直线交曲线E于C、D两点,交y轴于点P,若的值
参考答案:
解:(I)设,得
∴动点M的轨迹E的方程为
(II)显然,直线L的斜率存在,设其方程为即
令联立 得
即
19. 设函数.
(1)若,对一切恒成立,求的最大值;
(2)设,且、是曲线上任意两点,若对任意,直线的斜率恒大于常数,求的取值范围.
参考答案:
试题解析:(1)当时,不等式对一切恒成立,则有,
,令,解得,列表如下:
减
极小值
增
故函数在处取得极小值,亦即最小值,即,
则有,解得,即的最大值是;
略
20. (本题满分15分)已知函数.
(Ⅰ)当时,求的单调递增区间;
(Ⅱ)当时,若函数不存在极值,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)解:当时,,……………2分
的单调递增区间为;………………4分
(Ⅱ)……………………5分
………………………………………………………7分
因为,所以在不可能恒成立,即不可能是单调递减.故当时,若函数不存在极值,则只能是单调递增.……………9分
则有对恒成立,对也恒成立.
而当时容易得对恒成立;……………………………11分
对于对恒成立,
则应满足或,………………………………13分
得或,即.…………………15分
21. 在△ABC中,内角所对的边分别为,已知.
(Ⅰ)求证:成等比数列;
(Ⅱ)若,求△的面积S.
参考答案:
即:[来源:Z*xx*k.Com]
因,即
所以-----------------------3分
由正弦定理得:,所以成等比数列.-----------------5分
(Ⅱ)在中,由余弦定理得
由得----------------8分
所以,,--------------10分
△的面积.--------------12分
略
22. (12分)甲、乙二人各有6张扑克牌,每人都是3张红心,2张草花,1张方片。每次两人从自己的6张牌中任意抽取一张进行比较,规定:两人花色相同时甲胜,花色不同时乙胜。
(Ⅰ)此规定是否公平?为什么?
(Ⅱ)若又规定:当甲取红心、草花、方片而获胜所得的分数分别为3、2、1,否则得0分,求甲得分的期望.
参考答案:
解析:(Ⅰ)设甲取红心、草花、方片的事件分别为A、B、C,乙取红心、草花、方片的事件分、、,则事件A、、B、、C、相互独立,而事件,,两两互斥,
由题知,,,
则甲取胜的概率:
,
∴乙取胜的概率为:. ……………………………………………6分
∵甲取胜的概率≠乙取胜的概率,
∴此规定不公平. …………………………………………………………………8分
(Ⅱ)设甲得分数为随机变量,则取值为0,1,2,3.则的分布列为
0
1
2
3
∴甲得分的期望……………………12分