2022年北京垂杨柳中学高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知复数的实部是,虚部是,其中为虚数单位,则在复平面对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
C
略
2. 抛物线和圆,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2于四点,则的值为( )
A. B.1 C. 2 D.4
参考答案:
B
3. 已知||=2,||=1,与的夹角为60°,则(+2)(﹣3)的值等于( )
A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1
参考答案:
B
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据平面向量数量积的定义,计算即可.
【解答】解:||=2,||=1,与的夹角为60°,
则(+2)(﹣3)=﹣?﹣6
=22﹣2×1×cos60°﹣6×12
=﹣3.
故选:B.
4. 已知集合,则集合M与集合N的关系是( )
A. B.N C.NM D.
参考答案:
C
略
5. 函数的图象关于( )
A.原点对称 B.轴对称
C.直线对称 D.直线对称
参考答案:
A
考点:三角函数的图象和性质的运用.
6. 某程序的框图如上右图所示,执行该程序,若输入的p为l6,则输出的n的值为
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
7. (5分)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间上的所有实根之和为( )
A. ﹣8 B. ﹣7 C. ﹣6 D. 0
参考答案:
B
【考点】: 分段函数的应用.
【专题】: 计算题;数形结合;函数的性质及应用.
【分析】: 化简g(x)的表达式,得到g(x)的图象关于点(﹣2,1)对称,由f(x)的周期性,画出f(x),g(x)的图象,通过图象观察上的交点的横坐标的特点,求出它们的和
解:由题意知g(x)==2+,函数f(x)的周期为2,
则函数f(x),g(x)在区间上的图象如右图所示:
由图形可知函数f(x),g(x)在区间上的交点为A,B,C,易知点B的横坐标为﹣3,若设C的横坐标为t
(0<t<1),则点A的横坐标为﹣4﹣t,所以方程f(x)=g(x)在区间上的所有实数根之和为﹣3+(﹣4﹣t)+t=﹣7.
故选:B.
【点评】: 本题考查分段函数的图象和运用,考查函数的周期性、对称性和应用,同时考查数形结合的能力,属于中档题.
8. 已知F1,F2是双曲线E:的左,右焦点,点M在E上,M F1与x轴垂直,,则E的离心率为
(A) (B) (C) (D)2
参考答案:
A
离心率,由正弦定理得.
故选A.
9. 已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x﹣2)<0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3}
参考答案:
C
【考点】1D:并集及其运算.
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;5J :集合.
【分析】先求出集合A,B,由此利用并集的定义能求出A∪B的值.
【解答】解:∵集合A={1,2,3},
B={x|(x+1)(x﹣2)<0,x∈Z}={0,1},
∴A∪B={0,1,2,3}.
故选:C.
10. 集合,集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
集合B化简为,依题可见选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设x、y、z?R+,若xy + yz + zx = 1,则x + y + z的取值范围是__________
参考答案:
略
12. 已知函数f(x)=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数,则实数m范围为 .
参考答案:
【考点】函数单调性的性质.
【专题】计算题.
【分析】求出f′(x)=2mx+﹣2,因为函数在定义域内是增函数,即要说明f′(x)大于等于0,分离参数求最值,即可得到m的范围.
【解答】解:求导函数,可得f′(x)=2mx+﹣2,x>0,
函数f(x)=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数,所以f′(x)≥0成立,
所以2mx+﹣2≥0,x>0时恒成立,
所以,
所以﹣2m≤﹣1
所以m≥时,函数f(x)在定义域内是增函数.
故答案为.
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力,会找函数单调时自变量的取值范围,属于基础题
13. 设是定义在R上的奇函数,当时,,且,则不等式的解集为____.
参考答案:
14. (选修4—1:几何证明选讲)
如图,A,B是圆O上的两点,且OA⊥OB,OA=2,C为OA的中点,连结BC并延长交圆O于点D,则CD= .
参考答案:
15. 设(是虚数单位),则=_____________.
参考答案:
i
略
16. 我国的人口约13亿,如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%,那么经过x年后我国人口数为y亿,则y与x的关系式为____________________.
参考答案:
;
17. 已知数列的前项和为,,,则 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数的图象的对称轴为.
(1)求不等式的解集;
(2)若函数f(x)的最小值为M,正数a,b满足,求的最小值.
参考答案:
(1);(2).
(1)∵函数的对称轴为,∴,
∴.
由,得或或,
解得或,故不等式的解集为.
(2)由绝对值不等式的性质,可知,
∴,∴,
∴.
(当且仅当时取等号).
19. (本题满分10分)已知曲线 (t为参数), (为参数).
(Ⅰ)化,的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(Ⅱ)过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于两点,求.
参考答案:
⑴
曲线为圆心是,半径是1的圆.
曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆.……4分
⑵曲线的左顶点为,则直线的参数方程为(为参数)
将其代入曲线整理可得:,设对应参数分别为,则
所以. ……………………………10分
20. (本小题满分14分)已知函数,,图象与轴异于原点的交点M处的切线为,与轴的交点N处的切线为, 并且与平行.
(1)求的值;
(2)已知实数t∈R,求函数的最小值;
(3)令,给定,对于两个大于1的正数,
存在实数满足:,,并且使得不等式
恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解: 图象与轴异于原点的交点,
图象与轴的交点,
由题意可得,即, …………2分
∴, …………………3分
=………4分
令,在 时,,
∴在单调递增, ……………5分
图象的对称轴,抛物线开口向上
①当即时, …………6分
②当即时,…………7分
③当即时,
…… …………………8分
,
所以在区间上单调递增 ……………………9分
∴时,
①当时,有,
,
得,同理, ……………10分
∴ 由的单调性知 、
从而有,符合题设. ……………11分
②当时,,
,
由的单调性知 ,
∴,与题设不符………12分
③当时,同理可得,
得,与题设不符. ……………13分
∴综合①、②、③得 …………14分
21. 命题P:存在实数x,x2﹣2cx+c<0;命题Q:|x﹣1|﹣x+2c>0对任意x∈R恒成立.若P或Q为真,P且Q为假,试求c的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【分析】关于命题P:存在实数x,x2﹣2cx+c<0,即存在实数x,使得(x﹣c)2<c2﹣c即可,只需c2﹣c>0,解得c范围.命题Q:|x﹣1|﹣x+2c>0,化为2c>x﹣|x﹣1|,令f(x)=x﹣|x﹣1|=,可得f(x)≤1.即可得出c的取值范围.若P或Q为真,P且Q为假,P与Q必然一真一假.
【解答】解:关于命题P:存在实数x,x2﹣2cx+c<0,
即存在实数x,使得(x﹣c)2<c2﹣c即可,
∴只需c2﹣c>0,解得:c<0或c>1,
∴P真:c<0或c>1;
命题Q:|x﹣1|﹣x+2c>0,
化为2c>x﹣|x﹣1|,
令f(x)=x﹣|x﹣1|=,
∴f(x)≤1.
∴2c>1,解得c.
若P或Q为真,P且Q为假,
∴P与Q必然一真一假.
∴或,
解得c<0或.
因此c的取值范围是.
22. 已知中心在原点,焦点在轴上,离心率为的椭圆过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与轴的非负半轴交于点,过点作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于两点,连接,求的面积的最大值.
参考答案:
(1)由题意可设椭圆方程为,则,
故,所以,椭圆方程为;
(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0,
故可设直线的方程为,由对称性,不妨设,
由,消去得,
则,将式子中的换成,得:,
设,则,
故,取等条件为,即,
即,解得时,取得最大值.