2022年安徽省宿州市符离中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
B
2. 判断下列各命题的真假:
(1)向量的长度与向量的长度相等;
(2)向量与向量平行,则与的方向相同或相反;
(3)两个有共同起点的而且相等的向量,其终点必相同;
(4)两个有共同终点的向量,一定是共线向量;
(5)向量和向量是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上;
(6)有向线段就是向量,向量就是有向线段.
其中假命题的个数为( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
参考答案:
C
3. “十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
参考答案:
D
分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.
详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,
所以,
又,则
故选D.
点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种:
(1)定义法,若()或(), 数列是等比数列;
(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.
4. 设是R上的一个运算,A是R的一个非空子集,若对任意、A,有,则称A对运算封闭。下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是
A 自然数集 B 整数集 C 有理数集 D 无理数集
参考答案:
C
5. 已知,=(,6),且,则 ( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
参考答案:
A
【分析】
根据向量平行有公式,代入数据得到答案.
【详解】,=(,6),且
则即
故答案选A
【点睛】本题考查了向量平行的计算,属于简单题.
6. 函数在区间(1,3)内的零点个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
B
【分析】
先证明函数的单调递增,再证明,即得解.
【详解】因为函数在区间(1,3)内都是增函数,
所以函数在区间(1,3)内都是增函数,
又
所以,
所以函数在区间(1,3)内的零点个数是1.
故选:B
【点睛】本题主要考查零点定理,考查函数单调性的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7. 某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( )
(A) =-10x+200 (B) =10x+200
(C) =-10x-200 (D) =10x-200
参考答案:
A
8. 下列四个命题:(1) 函数既是奇函数又是偶函数;(2)若函数与 轴没有交点,则且;(3) 函数在上是增函数,在上也是增函数,所以函数在定义域上是增函数;(4) 若且,则. 其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
(1)f(x)=1的图像关于y轴对称,但不关于原点对称,因而它是偶函数,错;(2)若函数与 轴没有交点,一种情况是a=b=0,另一种情况是,错;(3)函数在上是增函数,在上也是增函数,所以函数在定义域上不是增函数,错;(4)只有当x>0时,才成立,错.故正确命题的个数为0.
9. 已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则m、n、p的大小关系为( )
A.m<n<p B.n<p<m C.p<m<n D.p<n<m
参考答案:
C
10. 函数的图像大致是 ( )
A B C D
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数,满足的x的值是 .
参考答案:
【考点】分段函数的应用;函数的值.
【专题】分类讨论;分类法;函数的性质及应用.
【分析】根据已知中函数,分类讨论满足的x的值,进而可得答案.
【解答】解:当x<1时,解得:x=2(舍去),
当x>1时,解得:x=,.
综上,满足的x的值是,
故答案为:
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度中档.
12. 已知,则tanx= .
参考答案:
﹣
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【分析】已知等式两边平方,利用同角三角函数间的基本关系化简,根据x的范围确定出sinx大于0,cosx小于0,即sinx﹣cosx大于0,利用完全平方公式得到(sinx﹣cosx)2=1﹣2sinxcosx,开方求出sinx﹣cosx的值,与已知等式联立求出sinx与cosx的值,即可确定出tanx的值.
【解答】解:将sinx+cosx=①两边平方得:(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,
∴2sinxcosx=﹣<0,
∵x∈(0,π),∴x∈(,π),
∴cosx<0,sinx>0,即sinx﹣cosx>0,
∴(sinx﹣cosx)2=1﹣2sinxcosx=,即sinx﹣cosx=②,
联立①②得:sinx=,cosx=﹣,
则tanx==﹣.
故答案为:﹣
13. 高一(1)班共有50名学生,在数学课上全班学生一起做两道数学试题,其中一道是关于集合的试题,一道是关于函数的试题,已知关于集合的试题做正确的有40人,关于函数的试题做正确的有31人,两道题都做错的有4人,则这两道题都做对的有 人.
参考答案:
25
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【分析】设这两道题都做对的有x人,则40+31﹣x+4=50,由此可得这两道题都做对的人数.
【解答】解:设这两道题都做对的有x人,则40+31﹣x+4=50,
∴x=25.
故答案为25.
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查集合知识,比较基础.
14. 已知sinx=,则sin2(x﹣)= .
参考答案:
2﹣
【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用;GQ:两角和与差的正弦函数.
【分析】先利用同角三角函数基本关系可知sin2(x﹣)=﹣cos2x,进而利用倍角公式把sinx=代入即可.
【解答】解:sin2(x﹣)=﹣cos2x=﹣(1﹣2sin2x)=﹣(1﹣)=2﹣
故答案为2﹣
15. 若函数的定义域为[-1,2],则函数的定义域是
参考答案:
【,2】
16. 如图四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为SA上的点,当E满足条件: 时,SC∥面EBD.
参考答案:
SE=AE
【考点】直线与平面平行的判定.
【分析】由线面平行的性质定理可得SC∥OE,进而根据O为AC的中点,可得:E为SA的中点,进而得到答案.
【解答】解:∵SC∥平面EBD,SC?平面SAC,平面SAC∩平面EBD=OE,
∴SC∥OE,
又∵底面ABCD为平行四边形,O为对角线AC与BD的交点,
故O为AC的中点,
∴E为SA的中点,
故当E满足条件:SE=AE时,SC∥面EBD.
故答案为:SE=AE(填其它能表述E为SA中点的条件也得分)
17. 已知集合A={x∈R|3x+2>0﹜,B={x∈ R|(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B= ▲ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)已知点
1) 是否存在,使得点P在第一、三象限的角平分线上?
2) 是否存在,使得四边形为平行四边形?
参考答案:
1)存在。
设,则,…………………3分
得
……………………………………5分
若点P在第一、三象限的角平分线上,则,即,。
……………………………………6分
2)不存在。
若四边形为平行四边形,则…………………………………8分
,所以,无解。………………………………10分
19. 已知函数是定义在(-1,1)上的奇函数.
(I)求的值和实数的值;
(Ⅱ)判断函数在(-1,1)上的单调性,并给出证明;
(Ⅲ)若且求实数b的取值范围.
参考答案:
解:(I)
因为是奇函数。
所以:
,
即对定义域内的都成立
所以或(舍)
.
(Ⅱ)
;
设
设,则
.
当时,在上是增函数.
(Ⅲ)由
得
函数是奇函数
由(Ⅱ)得在上是增函数
的取值范围是
20. (本小题满分12分)已知直三棱柱中,,是中点,是中点.
(Ⅰ)求三棱柱的体积;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:∥面.
参考答案:
(Ⅰ) ---------------------------------3分
(Ⅱ)∵,∴为等腰三角形
∵为中点,∴ ---------------------------------4分
∵为直棱柱,∴面面 ------------------------5分
∵面面,面,
∴面---------------------------------6分
∴ ---------------------------7分
(Ⅲ)取中点,连结,,--------8分
∵分别为的中点
∴∥,∥,-----------------9分
∴面∥面 -----------------------11分
面
∴∥面 . -----------------------------12分
21. 如图,圆C的圆心在x轴上,且过点(7,0),(5,2).
(1)求圆C的方程;
(2)直线l:与x轴交于点A,点D为直线l上位于第一象限内的一点,以AD为直径的圆与圆C相交于点M,N.若直线AM的斜率为-2,求D点坐标.
参考答案:
解:(1)由,可得两点中垂线方程为,当时得,
所以圆的方程为;
(2)因为为直径,所以,而直线的斜率为-2,所以,设点坐标为,则:,
:,由点在圆上可得:或,又因为点位于第一象限,.
22. 如图,长方体中,DA=DC=2,,E是的中点,F是CE的中点。
(1)求证:
(2)求证:
参考答案:
(1)连接AC交BD于O点,连接OF,
可得OF是△ACE的中位线,OF∥AE,
又AE?平面BDF,OF?平面BDF,
所以EA∥平面BDF.
(2)计算可得DE=DC=2,又F是CE的中点,
所以DF⊥CE,
又BC⊥平面CDD1C1,
所以DF⊥BC,
又BC∩CE=C,
所以DF⊥平面BCE,
又DF?平面BDF,
所以平面BDF⊥平面BCE.