2022-2023学年福建省南平市老区中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设变量x,y满足约束条件,则的最大值为 ( )
A.2 B.3 C. D.4
参考答案:
C
2. 已知命题:如果,那么;命题:如果,那么;命题:如果,那么.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是 ( )
① 命题是命题的否命题,且命题是命题的逆命题.
② 命题是命题的逆命题,且命题是命题的否命题.
③ 命题是命题的否命题,且命题是命题的逆否命题.
A.①③; B.②; C.②③ D.①②③
参考答案:
A
3. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( )
A. B. C.3 D.2
参考答案:
B
解答:
三视图还原几何体为一圆柱,如图,将侧面展开,最短路径为连线的距离,所以,所以选B.
5. 如图是一建筑物的三视图(单位:米),现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆千克,则共需油漆的总量为
A.千克
B.千克
C.千克
D.千克
参考答案:
B
6. 设全集是实数集,,,则集合等于
( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 已知函数f(x)=sin x-x(x∈[0,π]),那么下列结论正确的是 ( ).
A.f(x)在上是增函数
B.f(x)在上是减函数
C.?x∈,
D.?x∈,。
参考答案:
D
试题分析:由于,,得,由得
,因此函数的单调递增区间,单调递减区间,当时,取最大值,故答案为D.
考点:函数的单调性与导数的关系.
8. 已知圆,,过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E、F,则的最小值是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
参考答案:
A
由可得,圆的圆心在圆的圆周上运动,
设,则,设,,
,
由在上为增函数可知,当时,取最小值,故选A.
9. 将函数的图像向左平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图像,已知函数是周期为的偶函数,则,的值分别为( ▲ )
A.4, B.4, C.2, D.2,
参考答案:
B
略
10. 定义在上的函数对任意、都有,且函数的图象关于成中心对称,若,满足不等式.则当时,的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【知识点】函数单调性的性质
解析:由已知条件知f(x)在R上单调递减,且关于原点对称;
∴由f(s2﹣2s)≤﹣f(2t﹣t2)得:s2﹣2s≥t2﹣2t;∴(s﹣t)(s+t﹣2)≥0;
以s为横坐标,t为纵坐标建立平面直角坐标系;
不等式组所表示的平面区域,如图所示:
即△ABC及其内部,C(4,﹣2);
设,整理成:;;
∴,解得:;
∴的取值范围是[].故选:D.
【思路点拨】根据已知条件便可得到f(x)在R上是减函数,且是奇函数,所以由不等式f(s2﹣2s)≤﹣f(2t﹣t2)便得到,s2﹣2s≥t2﹣2t,将其整理成(s﹣t)(s+t﹣2)≥0,画出不等式组所表示的平面区域.设,所以得到t=,通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围,从而求出的取值范围.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量,,若,共线,则实数的值为 .
参考答案:
3
12. 如图,函数(其中,,)与坐标轴的三个交点、、满足,,为的中点,, 则的值为____________
参考答案:
13. 已知是等差数列的前项和,其中则
参考答案:
6;9
由得。所以。。
14. 已知14C的半衰期为5730年(是指经过5730年后, 14C的残余量占原始量的一半).设14C的原始量为a,经过x年后的残余量为b,残余量b与原始量a的关系如下:,其中x表示经过的时间,k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年.(已知)
参考答案:
2193
由题意可知,当时,,解得.
现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量的.
所以,得,.
15. 首项为1,公比为2的等比数列的前4项和
参考答案:
15
因为数列是等比数列,所以。
16. 函数的单调递增区间是___________________________。
参考答案:
解析:
17. 函数 的值域是_______.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 本题12分)函数.
(1)如果函数在点处的切线的斜率等于3,求实数的值;
(2)如果函数在区间上无极值,求实数的取值范围.
参考答案:
20.解:(1)由条件,,由导数的几何意义可得,解得;
(2)函数在区间上无极值,则
①其,则在上单调递增,则在区间上无极值,解得;
②其,则的二根应小于等于1,由实根分布可得,
综上,
略
19. (本小题满分10分) 《选修4——1:几何证明选讲》
如图,是圆上三个点,是的平分线,交圆于,过做直线交延长线于,使平分.
(I)求证:是圆的切线;
(II)若,,,求的长.
参考答案:
(I)证明:连接并延长交圆于,连接
,又平分,平分,.
又,,
,,. ……………5分
是圆的切线.
(II)由(1)可知△∽△,,,
,,,. ……8分
由切割线定理得:
. ……………10分
20. 设点P(x,y)到直线x=2的距离与它到定点(1,0)的距离之比为,并记点P的轨迹为曲线C。
(I)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设M(-2,0)的,过点M的直线l与曲线C相交于E,F两点,当线段EF的中点落在由四点C1(-1,0),C2(1,0),B1(0,-1),B2(0,1)构成的四边形内(不包括边界)时,求直线l斜率的取值范围.
参考答案:
略
21. (本题满分12分)如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF 平面EFDC.
(Ⅰ) 当,是否在折叠后的AD上存在一点,且,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(Ⅱ) 设BE=x,问当x为何值时,三棱锥ACDF的体积有最大值?并求出这个最大值.
参考答案:
(Ⅰ)存在使得满足条件CP∥平面ABEF,且此时.…………… 2分
下面证明:当时,即此时,可知,过点作MP∥FD,与AF交于点,则有,又FD=,故MP=3,又因为EC=3,MP∥FD∥EC,故有MPEC,故四边形MPCE为平行四边形,所以PC∥ME,又CP平面ABEF,ME平面ABEF,故有CP∥平面ABEF成立.……………………… 6分
(Ⅱ)因为平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,又AFEF,所以AF⊥平面EFDC.由已知BE=x,,所以AF=x(0x4),FD=6x.故.所以,当x=3时,有最大值,最大值为3.
22. 某地区的农产品A第天的销售价格(元百斤),一农户在第天()农产品A的销售量(百斤).
(1)求该农户在第7天销售家产品A的收入;
(2)问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大?
参考答案:
(1)由已知第7天的销售价格,销售量.
所以第7天的销售收入(元).
(2)设第天的销售收入为,则
,
当时,,
当且仅当时取等号,所以当时取最大值,
当时,,
当且仅当时取等号,所以当时取最大值,
由于,
所以第2天该农户的销售收入最大.