2022-2023学年陕西省西安市史家寨中学高三数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知焦点顺轴上的双曲线的焦距为,焦点到渐近线的距离为,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
,焦点到渐近线的距离为,说明,则,故选B.
2. 设函数 ,则满足的的取值范围是
A. B. C.[1,+ D.
参考答案:
D
略
3. 若函数的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数的图象可能是( )
参考答案:
答案:B
4. 已知函数的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线是其图像的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
5. 已知集合,,则 ( )
A. B.{ } C.{ } D.{}
参考答案:
B
6. 若f(x)是奇函数,且x0是函数y=f(x)﹣ex的一个零点,则﹣x0一定是下列哪个函数的零点( )
A.y=f(﹣x)ex﹣1 B.y=f(x)e﹣x+1 C.y=f(x)ex+1 D.y=f(x)ex﹣1
参考答案:
A
【考点】函数的零点.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】根据f(x)是奇函数可得f(﹣x)=﹣f(x),因为x0是y=f(x)﹣ex的一个零点,代入得到一个等式,利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断.
【解答】解:f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x)
且x0是y=f(x)﹣ex的一个零点,∴f(x0)﹣=0,∴f(x0)=,把﹣x0分别代入下面四个选项,
A、y=f(x0)﹣1=﹣﹣1=0,故A正确;
B、y=f(x0)+1=()2+1≠0,故B错误;
C、y=e﹣x0f(﹣x0)+1=﹣e﹣x0f(x0)+1=﹣e﹣x0+1=﹣1+1=0,故C正确;
D、y=f(﹣x0)﹣1=﹣1﹣1=﹣2,故D错误;
故选:A.
【点评】此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质,此题是一道中档题,需要一一验证.
7. 对于平面α和共面的直线m,n,下列命题是真命题的是
A.若m,n与α所成的角相等,则m//n
B.若m//α,n//α,则m//n
C.若m⊥α,m⊥n,则n//α
B.若则m//n
参考答案:
D
略
8. 设集合S={x|x> 2},T={x|x2+3x 4≤0},则()∪T= ( )
A.(∞,1] B.(∞, 4] C.( 2,1] D.[1,+∞)
参考答案:
A
略
9. 已知实数x, y满足条件,则目标函数
A.有最小值0,有最大值6 B.有最小值,有最大值3
C.有最小值3,有最大值6 D.有最小值,有最大值6
参考答案:
D
画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示。当目标函数过直线与直线的交点(3, 0),目标函数取得最大值6;当目标函数过直线与直线的交点(0, 2)时,目标函数取得最小值。
故选D。
10. .已知复数z满足(是虚数单位),则( )
A. 0 B. C. 1 D.
参考答案:
C
【分析】
先求出复数z,再求|z|得解.
【详解】由题得
故选:C
【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,已知为圆的直径,为圆上一动点,圆所在平面,且,过点作平面,交分别于,当三棱锥体积最大时,_________.
参考答案:
12. 数列满足,则的前60项和等于
参考答案:
1830
,n+1代n,得,
当n为奇数时,,TTa1+a3=a5+a7=…
= a57+a59=2TS奇=,由得:,,
,…,,以上各式相加,得S偶-S奇=
∴S60=(S偶-S奇)+2S奇=1770+60=1830.
13. 已知双曲线的渐近线方程是,右焦点,则双曲线的方程为 ,又若点,是双曲线的左支上一点,则周长的最小值为 .
参考答案:
,
14. 等比数列中,,前三项和,则公比的值为 .
参考答案:
【知识点】等比数列的性质. D3
【答案解析】 或1. 解析:当q=1时,各项均为6,可得S3=18,符合题意;
当q≠1时,, 解得,
综上可得公比q的值为:1或
故答案为:1或
【思路点拨】分类:q=1符合题意,当q≠1时,可得a1和q的方程组,解方程组可得.
15. 设函数若,则x0的取值范是 .
参考答案:
略
16. 在等比数列{an}中,an>0(n∈N﹡),且,,则{an}的前6项和是 .
参考答案:
63
在等比数列中,,所以,又,所以,,所以.
17. 已知圆C经过直线2x-y+2=0与坐标轴的两个交点,又经过抛物线y2=8x的焦点,则圆C的方程为__________.
参考答案:
x2+y2-x-y-2=0
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点P是椭圆C上的一个动点,且面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q,且PQ的垂直平分线交轴于点,求直线PQ的斜率.
参考答案:
(1)(2)或
【分析】
(1)由题得到关于a,b,c的方程,解方程组即得椭圆的标准方程;(2)设直线的方程为,线段的中点为,根据,得,解方程即得直线PQ的斜率.
【详解】(1)因为椭圆离心率为,当P为C的短轴顶点时,的面积有最大值.
所以,所以,故椭圆C的方程为:.
(2)设直线方程为,
当时,代入,
得:.
设,线段的中点为,
,
即
因为,则,所以,
化简得,解得或,
即直线的斜率为或.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
(1)求tanC的值;
(2)若,求边c的长及△ABC的面积.
参考答案:
【考点】正弦定理.
【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.
【分析】(1)由已知及同角三角函数基本关系式可求sinA,利用两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理化简已知即可求解tanC的值.
(2)由(1)可求sinC,又由正弦定理可求c=的值,对角A运用余弦定理:,联立方程即可解得b,利用三角形面积公式即可得解.
【解答】解:(1)∵,
∴,…
又.
整理得:.…
(2)由知:.
又由正弦定理知:,故c===.①…
对角A运用余弦定理:.②
解①②得:或(舍去).…
∴△ABC的面积为:.…
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
20. 设函数f(x)=|2x+2|﹣|x﹣2|.
(Ⅰ)求不等式f(x)>2的解集;
(Ⅱ)若?x∈R,f(x)≥t2﹣t恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】(Ⅰ)根据函数f(x)=,分类讨论,求得f(x)>2的解集.
(Ⅱ)由f(x)的解析式求得f(x)的最小值为f(﹣1)=﹣3,再根据f(﹣1)≥t2﹣,求得实数t的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=|2x+2|﹣|x﹣2|=,
当x<﹣1时,不等式即﹣x﹣4>2,求得x<﹣6,∴x<﹣6.
当﹣1≤x<2时,不等式即3x>2,求得x>,∴<x<2.
当x≥2时,不等式即x+4>2,求得x>﹣2,∴x≥2.
综上所述,不等式的解集为{x|x>或x<﹣6}.
(Ⅱ)由以上可得f(x)的最小值为f(﹣1)=﹣3,若?x∈R,f(x)≥t2﹣t恒成立,
只要﹣3≥t2﹣t,即2t2﹣7t+6≤0,求得≤t≤2.
【点评】题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.
21. 已知数列{}的前 n 项和 Sn 满足(p 为大于 0 的常数),且 a1 是 6a3 与 a2的等差中项。
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若 an·bn=2n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
参考答案:
解:(I)当n=1时,,得.
当n≥2时,,
,
两式相减得an=pan﹣1,即.
故{an}是首项为,公比为p的等比数列,
∴.
由题意可得:2a1=6a3+a2,,
化为6p2+p﹣2=0.
解得p=或(舍去).
∴=. --------------------------------------------(6分)
(II)由(I)得,
则,
+(2n﹣1)×2n+(2n+1)×2n+1,
两式相减得﹣Tn=3×2+2×(22+23+…+2n)﹣(2n+1)×2n+1
=
=﹣2﹣(2n﹣1)×2n+1,
∴. --------------------------------------------(12分)
略
22. (本小题满分12分)
设函数为常数).
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若当时,恒有,试求的取值范围.
参考答案:
解:(1)………………1分
令,得……………………2分
由表
x
(-∞,a)
a
(a,3 a)
3 a
(3a,+∞)
-
0
+
0
-
递减
递增
b
递减
可知:当时,函数为减函数,当时. 函数也为减函数;当时,函数为增函数.……………………5分
当时,的极小值为;当时, 的极大植为b.……6分
(2)由,得………………7分
上为减函数.…8分
…………9分
于是,问题转化为求不等式组的解.……………………10分
解不等式组,得…………………………11分
又 所求a的取值范围是……………………12分
略