2022年四川省巴中市至诚中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 命题“R,0”的否定是. ( )
A.R, >0 B.R, 0
C.R, 0 D.R, >0
参考答案:
D
2. 按流程图的程序计算,若开始输入的值为,则输出的的值是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 椭圆C:的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率.
【分析】由椭圆C:可知其左顶点A1(﹣2,0),右顶点A2(2,0).设P(x0,y0)(x0≠±2),代入椭圆方程可得.利用斜率计算公式可得,再利用已知给出的的范围即可解出.
【解答】解:由椭圆C:可知其左顶点A1(﹣2,0),右顶点A2(2,0).
设P(x0,y0)(x0≠±2),则,得.
∵=, =,
∴==,
∵,
∴,解得.
故选B.
4. 等差数列的前项的和为30,前项的和为100,则它的前项的和为( )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)260
参考答案:
C
略
5. 已知数列为等差数列,且,,则公差 ( )[来源:
A.-2 B.- C. D.2
参考答案:
B
6. 下列命题中错误的是:( )
A. 如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面β;
B. 如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面β;
C. 如果平面α不垂直平面β,那么α内一定不存在直线垂直于平面β;
D. 如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l⊥γ.
参考答案:
B
略
7. 已知函数的图象与x轴恰有两个公共点,则c=
A. -2或2 B. -9或3 C. -1或1 D. -3或1
参考答案:
A
【分析】
利用导数判断函数的单调性求出极值点为,利用或可得结果.
【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为,极小值为,因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或,即或,故选A.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点,属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题,往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ,极小值为 :一个零点或;两个零点或;三个零点且.
8. 已知球的直径SC=4,A、B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则三棱锥S-ABC的体积为 ( )
参考答案:
C
9. 已知过点P(-2, m),Q(m, 4)的直线的倾斜角为45°,则m的值为
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
略
10. 右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式组sinx > cosx > tanx > cotx在 (0 , 2)中的解集 (用区间表示)是______.
参考答案:
( -arcsin )
12. 设x∈R,则“x>”是“2x2+x﹣1>0”的 条件.
参考答案:
充分而不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由2x2+x﹣1>0,解得,或x<﹣1.即可判断出.
【解答】解:由2x2+x﹣1>0,解得,或x<﹣1.
∴“x>”是“2x2+x﹣1>0”的充分而不必要条件.
故答案为:充分而不必要.
13. 已知某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是直角三角形,则此几何体的体积为_____________.
参考答案:
略
14. 用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则= .
参考答案:
2
15. 已知,抛物线上的点到直线的最段距离为__________。
参考答案:
解析:直线为,设抛物线上的点
16. 已知表示不大于x的最大整数,设函数f(x)=,得到下列结论:
结论1:当1<x<2时,f(x)=0;
结论2:当2<x<4时,f(x)=1;
结论3:当4<x<8时,f(x)=2;
照此规律,得到结论10: .
参考答案:
当29<x<210时,f(x)=9
【考点】F1:归纳推理.
【分析】根据前3个结论,找到规律,即可得出结论.
【解答】解:结论1:当1<x<2时,即20<x<21,f(x)=1﹣1=0;
结论2:当2<x<4时,即21<x<22,f(x)=2﹣1=1;
结论3:当4<x<8时,即22<x<23,f(x)=3﹣1=2,
通过规律,不难得到结论10:当29<x<210时,f(x)=10﹣1=9,
故答案为:当29<x<210时,f(x)=9.
17. 若命题p:?x∈R,x2+x﹣1≥0,则¬p: .
参考答案:
?x∈R,x2+x﹣1<0
【考点】特称命题.
【专题】简易逻辑.
【分析】根据特称命题的否定是全程命题,写出命题p的否定¬p即可.
【解答】解:根据特称命题的否定是全程命题,得
命题p:?x∈R,x2+x﹣1≥0,
的否定是¬p:?x∈R,x2+x﹣1<0.
故答案为:?x∈R,x2+x﹣1<0.
【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题,是基础题目.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,且∠BAD=600,平面PAB⊥平面ABCD,E、F分别为AD、PB的中点。
(I)求证:EF//平面PCD;
(II)若PA=PB=AD=1,∠APB=900,求三棱锥P-CEF的体积。
参考答案:
19. 已知函数f(x)=﹣4x+m在区间(﹣∞,+∞)上有极大值.
(1)求实常数m的值.
(2)求函数f(x)在区间(﹣∞,+∞)上的极小值.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(1)由f′(x)=x2﹣4=(x+2)(x﹣2),令f′(x)=0,解得x=﹣2,或x=2,列表讨论,能求出m=4.
(2)由m=4,得f(x)=,由此能求出函数f(x)在区间(﹣∞,+∞)上的极小值.
【解答】解:(1)∵f(x)=﹣4x+m,
∴f′(x)=x2﹣4=(x+2)(x﹣2),
令f′(x)=0,解得x=﹣2,或x=2,
列表讨论,得:
x
(﹣∞,﹣2)
﹣2
(﹣2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
∴当x=﹣2时,f(x)取极大值,
∵函数f(x)=﹣4x+m在区间(﹣∞,+∞)上有极大值,
∴,
解得m=4.
(2)由m=4,得f(x)=,
当x=2时,f(x)取极小值f(2)=﹣.
【点评】本题考查函数的极大值和极小值的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
20. (本小题满分14分)某光学仪器厂有一条价值为万元的激光器生产线,计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值. 经过市场调查,产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足:①与成正比;②当时,,并且技术改造投入满足,其中为常数且.
(I)求表达式及定义域;
(II)求技术改造之后,产品增加值的最大值及相应的值.
参考答案:
解:(I)设.
由时,可得.
所以. ……………………3分
由解得.
所以函数的定义域为. …………………6分
(II)由(I)知,所以.
令得. …………………8分
因为,所以,即.
当时,,函数是增函数;
当时,,函数是减函数. ……11分
所以当时,函数取得最大值,且最大值是.……13分
所以,时,投入万元最大增加值万元. ……14分
略
21. 已知函数f(x)=x3﹣2ax2﹣3x.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))的切线方程;
(2)对一切x∈(0,+∞),af′(x)+4a2x≥lnx﹣3a﹣1恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a>0时,试讨论f(x)在(﹣1,1)内的极值点的个数.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)求导数,利用导数的几何意义,求出切线的斜率,即可求曲线y=f(x)在点(3,f(3))的切线方程;
(Ⅱ)由题意:2ax2+1≥lnx,即,求出右边的最大值,即可求实数a的取值范围;
(Ⅲ)分类讨论,利用极值的定义,即可讨论f(x)在(﹣1,1)内的极值点的个数.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知,所以f′(x)=2x2﹣3
又f(3)=9,f′(3)=15
所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))的切线方程为15x﹣y﹣36=0…
(Ⅱ)由题意:2ax2+1≥lnx,即
设,则
当时,g'(x)>0;当时,g′(x)<0
所以当时,g(x)取得最大值
故实数a的取值范围为.…
(Ⅲ)f′(x)=2x2﹣4ax﹣3,,
①当时,∵
∴存在x0∈(﹣1,1),使得f′(x0)=0
因为f′(x)=2x2﹣4ax﹣3开口向上,所以在(﹣1,x0)内f′(x)>0,在(x0,1)内f′(x)<0
即f(x)在(﹣1,x0)内是增函数,f(x)在(x0,1)内是减函数
故时,f(x)在(﹣1,1)内有且只有一个极值点,且是极大值点.…
②当时,因
又因为f′(x)=2x2﹣4ax﹣3开口向上
所以在(﹣1,1)内f′(x)<0,则f(x)在(﹣1,1)内为减函数,故没有极值点…
综上可知:当,f(x)在(﹣1,1)内的极值点的个数为1;当时,f(x)在(﹣1,1)内的极值点的个数为0.…
22. 已知a>0,b>0.
(1)求证: +≥;
(2)若c>0,求证:在a﹣b﹣c,b﹣a﹣c,c﹣a﹣b中至少有两个负数.
参考答案:
【考点】R6:不等式的证明;R9:反证法与放缩法.
【分析】(1)利用分析法证明;
(2)假设a≤b≤c,利用不等式的性质判断三个数的正负即可.
【解答】证明:(1)要证:≥,
只需证:≥,
只需证:(2a+b)2≥8ab,
即证:4a2+b2﹣4ab≥0,
即证:(2a﹣b)2≥0,
显然上式恒成立,
故≥.
(2)假设0<a≤b≤c,
显然a﹣b﹣c≤b﹣b﹣c=﹣c<0,
b﹣a﹣c≤c﹣a﹣c=﹣a<0,
∴在a﹣b﹣c,b﹣a﹣c,c﹣a﹣b中至少有两个负数.