2022-2023学年湖南省株洲市醴陵黄达咀金鸡中学高一数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为 ( )
A. B. C.R D.
参考答案:
B
2. 当时,函数的( )
A. 最大值是1,最小值是-1 B. 最大值是1,最小值是
C. 最大值是2,最小值是-2 D. 最大值是2,最小值是-1
参考答案:
D
【分析】
将函数变形为,根据自变量的范围求出括号内角的范围,根据正弦曲线得到函数的值域.
【详解】
当时,
当时,
即
故选D
【点睛】本题主要考查了辅助角公式以及正弦函数的最值,属于基础题.
3. 已知||=2, ||=1,,则向量在方向上的投影是[ ]
A. B. C. D.1
参考答案:
D
4. 下列各组函数中表示同一函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
参考答案:
D
在D项中,函数 与 的定义域和对于关系一致,所以是相同函数。故选D。
5. 直线与圆C:在同一坐标系下的图像可能是( )
参考答案:
D
略
6. 已知向量a=(3,2),b=(x,4),且a∥b,则x的值为
A.6 B.-6 C. D.
参考答案:
A
7. 如图所示:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设直线A1B与平面所成角为,二面角的大小为,则为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
连结BC1,交B1C于O,连结A1O,则∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1,由BC⊥DC,B1C⊥DC,知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2,由此能求出结果.
【详解】连结BC1,交B1C于O,连结A1O,∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BC1⊥B1C,BC1⊥DC,
∴BO⊥平面A1DCB1,∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1,
∵BO=A1B,∴θ1=30°;∵BC⊥DC,B1C⊥DC,∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2,
∵BB1=BC,且BB1⊥BC,∴θ2=45°.
故选:A.
【点睛】本题考查线面角、二面角的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,属于中档题.
8. 已知函数(且)在上的最大值与最小值之和为,则的值为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
解:因为函数(且),
所以函数在时递增,最大值为;
最小值为,
函数在时递减,
最大值为,最小值为;
故最大值和最小值的和为:.
∴,(舍).
故选.
9. 关于的方程,给出下列四个命题;
①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根
②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根
④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
A
10. 已知函数的对应关系如下表,函数的图像是如下图的曲线,其中则的值为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下图是一个物体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),计算它的体积为 cm3.
参考答案:
12. 已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为a,则的取值范围为______.
参考答案:
13. 计算:=_____________.
参考答案:
0
略
14. 用秦九韶算法求当时的值时,_____
参考答案:
28.
分析: 由题意,把函数化简为,即可求解.
详解:由函数,
所以当时,.
点睛:本题主要考查了秦九韶算法计算与应用,着重考查了学生的推理与运算能力.
15. 在△ABC中,角所对的边分别为,,,则
= ▲ .
参考答案:
16. ks5u
幂函数的图像经过点,则的值等于 。
参考答案:
17. 下列叙述正确的有 (将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上).
①集合{0,1,2}的非空真子集有6个;
②集合A={1,2,3,4,5,6},集合B={y|y≤5,y∈N*},若f:x→y=|x﹣1|,则对应关系f是从集合A到集合B的映射;
③函数y=tanx的对称中心为(kπ,0)(k∈Z);
④函数f(x)对任意实数x都有f(x)=﹣恒成立,则函数f(x)是周期为4的周期函数.
参考答案:
④
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】函数思想;集合思想;综合法;函数的性质及应用;简易逻辑.
【分析】①集合{0,1,2}的非空真子集有7个;②举反例x=1时不合题意;③反例(,0)也是函数y=tanx的对称中心;④可证f(x+4)=﹣=f(x),由周期函数的定义可得.
【解答】解:①集合{0,1,2}的非空真子集有:{0}、{1}、{2}、{0,1}、{0,2}、{1,2}、{0,1,2}共7个,故错误;
②当x取集合A={1,2,3,4,5,6}中的1时,可得y=|x﹣1|=0,而0不在集合B中,故错误;
③(,0)也是函数y=tanx的对称中心,而(,0)不在(kπ,0)(k∈Z)的范围,故错误;
④∵函数f(x)对任意实数x都有f(x)=﹣恒成立,则f(x+2)=﹣,
∴f(x+4)=﹣=f(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数,故正确.
故答案为:④
【点评】本题考查命题真假的判定,涉及函数的周期性和对称性以及集合和映射的知识,属中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知直线l1的方程为,若l2在x轴上的截距为,且l1⊥l2.
(1)求直线l1和l2的交点坐标;
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍,求l3的方程.
参考答案:
(1)(2,1);(2)或
【分析】
(1)利用l1⊥l2,可得斜率.利用点斜式可得直线l2的方程,与直线l1和l2的交点坐标为(2,1);
(2)当直线l3经过原点时,可得方程.当直线l3不经过过原点时,设在x轴上截距为a≠0,则在y轴上的截距的2a倍,其方程为:1,把交点坐标(2,1)代入可得a.
【详解】解:(1)∵l1⊥l2,∴2.
∴直线l2的方程为:y﹣0=2(x),化为:y=2x﹣3.
联立,解得.
∴直线l1和l2的交点坐标为(2,1).
(2)当直线l3经过原点时,可得方程:yx.
当直线l3不经过过原点时,设在x轴上截距为a≠0,则在y轴上的截距的2a倍,
其方程为:1,把交点坐标(2,1)代入可得:1,解得a.
可得方程:2x+y=5.
综上可得直线l3的方程为:x﹣2y=0,2x+y﹣5=0.
【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
19. 已知,且.
求sinx、cosx、tanx的值.(本小题12分)
参考答案:
20. 如图所示,在等腰梯形CDEF中,DE=CD=,EF=2+,将它沿着两条高AD,CB折叠成如图(2)所示的四棱锥E﹣ABCD(E,F重合).
(1)求证:BE⊥DE;
(2)设点M为线段AB的中点,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.
参考答案:
【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)证明AD⊥平面ABE,AD⊥BE,AE⊥BE,再用一次线面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE,所以DE⊥BE;
(2)取EC的中点G,BE的中点P,连接PM,PG,MG.利用三角形中位线定理结合线面平行的判定,得到MP∥平面DAE,GP∥平面DAE,从而平面MPG∥平面DAE,由此得到直线MG∥平面DAE,可得点N就是点G.
【解答】(1)证明:∵AD⊥EF,∴AD⊥AE,AD⊥AB.
又∵AB∩AE=A,
∴AD⊥平面ABE,∴AD⊥BE.
由题图(1)和题中所给条件知,四棱锥E﹣ABCD中,AE=BE=1,AB=CD=,
∴AE2+BE2=AB2,即AE⊥BE.
又∵AE∩AD=A,
∴BE⊥平面ADE,∴BE⊥DE…(6分)
(2)解:取EC的中点G,BE的中点P,连接PM,PG,MG,
则MP∥AE,GP∥CB∥DA,
∴MP∥平面DAE,GP∥平面DAE.
∵MP∩GP=P,∴平面MPG∥平面DAE.
∵MG?平面MPG,∴MG∥平面DAE,
故当点N与点G重合时满足条件…(12分)
【点评】本题证明了线线垂直和线面平行,着重考查了空间平行与垂直位置关系的证明等知识,属于中档题.
21. 已知函数的定义域为,集合为函数
的值域.
(1)求集合;
(2)如,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)易知函数在上为增函数
∴,又∴…………4分
(2)由得 又∵,…………6分
∴…………10分
解得: ∴实数的取值范围是…………12分
22. 求下列各式的值:
(1)
(2)(lg2)2 + lg2·lg50 + lg25
参考答案:
解析:(1)原式= = .
(2)原式 = lg2 (lg2 + lg50) + 2lg5 = lg2·lg100 + 2lg5 = 2lg2 + 2lg5 = 2 (lg2 + lg5)
= 2lg10 = 2