2022-2023学年福建省南平市关泽第一中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 命题“”的否定为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
2. 函数的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式,通过函数为0,转化为两个函数的图象交点个数问题.
【解答】解由已知得
=cos2x﹣log2|x|,令f(x)=0,即cos2x=log2|x|,
在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=log2|x|的图象,
如图所示,两函数图象有两个不同的交点,
故函数f(x)的零点个数为2,
故选B.
3. 执行如图所示的程序框图,会输出一列数,则这个数列的第3项是
A.870 B.30
C.6 D.3
参考答案:
B
【知识点】程序框图.L1
解析:当N=1时,A=3,故数列的第1项为3,N=2,满足继续循环的条件,A=3×2=6;当N=2时,A=6,故数列的第2项为6,N=3,满足继续循环的条件,A=6×5=30;当N=3时,A=30,故数列的第3项为30,故选:B.
【思路点拨】根据已知的框图,可知程序的功能是利用循环计算数列an的各项值,并输出,模拟程序的运行结果,可得答案.
4. 定义在R上的函数,当时,不等式在时恒成立,则实数的取值范围是( )
A. [1,+∞) B. [1,2] C. (1,2) D. (1,+∞)
参考答案:
D
分析:由题意结合不等式的性质构造函数,结合函数的单调性将原问题转化为恒成立的问题,然后整理计算即可求得最终结果.
详解:考查函数:,
则:,
据此可得函数单调递增,
,则不等式即:
,
则:,
不等式即,
结合函数的单调性可得:恒成立,
当时,,
结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.
本题选择D选项.
点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.
5. 半圆的直径=4, 为圆心,是半圆上不同于、的任意一点,若为半径的中点,则的值是
A. -2 B . -1 C . 2 D. 无法确定,与点位置有关
参考答案:
A
略
6. 设是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
B
【知识点】复数综合运算
【试题解析】因为
所以,对应的点位于第二象限
故答案为:B
7. 已知=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
参考答案:
A
8. 函数的图象向右平移动个单位,得到的图象关于轴对称,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 定义在上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
10. 已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,Q为双曲线渐近线C上一点,P,Q均位于第一象限,且,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果与该比曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为__________.
参考答案:
由题意知,,所以.
又,则,解得.
12. 若函数,则不等式的解集是 .
参考答案:
13. 在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,C=45°,且a,2,b成等比数列,则△ABC的面积为 .
参考答案:
【考点】正弦定理;等比数列的性质.
【分析】先利用等比中项的性质求得ab=4,再利用三角形面积公式S=absinC计算其面积即可
【解答】解:∵a,2,b成等比数列,∴ab=4
∴△ABC的面积S=absinC=×4×sin45°=
故答案为
14. 已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0,则a﹣b的值为 .
参考答案:
﹣7
考点:函数在某点取得极值的条件.
专题:计算题;导数的概念及应用.
分析:求导函数,利用函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0,建立方程组,求得a,b的值,再验证,即可得到结论.
解答: 解:∵函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2
∴f'(x)=3x2+6ax+b,
又∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0,
∴,∴或
当时,f'(x)=3x2+6ax+b=3(x+1)2=0,方程有两个相等的实数根,不满足题意;
当时,f'(x)=3x2+6ax+b=3(x+1)(x+3)=0,方程有两个不等的实数根,满足题意;
∴a﹣b=﹣7
故答案为:﹣7.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查学生的计算能力,属于基础题.
15. 若集合满足∪∪…∪,则称,,…为集合A的一种拆分。已知: ①当∪=时,A有种拆分;
②当∪∪=时,A有种拆分;
③当∪∪∪=时,A有种拆分;
……
由以上结论,推测出一般结论;
当∪∪…∪=,A有 种拆分。
参考答案:
略
16. 关于函数,有下列命题:
①其图象关于y轴对称;
②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数;
③f(x)的最小值是lg2;
④f(x)在区间(-1,0)、(2,+∞)上是增函数;
⑤f(x)无最大值,也无最小值.
其中所有正确结论的序号是 .
参考答案:
①③④
略
17. 若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点(1,1)处取得最小值,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
(﹣4,2)
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求出k的取值范围.
【解答】解:作出不等式对应的平面区域,
由z=kx+2y得y=﹣x+,
要使目标函数z=kx+2y仅在点B(1,1)处取得最小值,
则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方,
∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率
即﹣1<﹣<2,
解得﹣4<k<2,
即实数k的取值范围为(﹣4,2),
故答案为:(﹣4,2).
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.根据条件目标函数仅在点(1,1)处取得最小值,确定直线的位置是解决本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分15分)设,其中.
(1)当时,求的极值点;
(2)若为R上的单调函数,求的取值范围.
参考答案:
对求导得 ①
(1)当时,若,则,解得
结合①,可知
x
+
0
_
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
19. 定义在R上的函数满足.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调区间;
(3)如果s,t,r满足,那么称s比t更靠近,当且时,试比较和哪个更靠近lnx,并说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)解:
∴,故f (0) = 1
又,∴
因此 2分
(Ⅱ)解:∵
∴
∴ 4分
①当a≤0时,,函数g (x)在R上单调递增;
②当a > 0时,由得:
∴时,,g (x)单调递减
时,,g (x)单调递增
综上,当a≤0时,函数g (x)的单调递增区间为;
当a > 0时,函数g (x)的单调递增区间为,单调递减区间为. 6分
(Ⅲ)解:,
∵,∴p(x)在[1,+∞)上为减函数
又p(e) = 0,∴当1≤x≤e时,p(x)≥0,当x > e时,p(x) < 0 7分
∵,
∴在[1,+∞)上为增函数,又
∴x∈[1,+∞)时,,故q(x)在[1,+∞)上为增函数
∴q(x)≥q(1)=a+1>0 8分
①当1≤x≤e时,
设,则
∴h (x)在[1,+∞)上为减函数
∴h (x)≤m(1)=e-1-a
∵a≥2,∴h (x) < 0,∴| p(x) | < | q(x) |
∴比更靠近ln x; 10分
②当x > e时,
设,则,
∴在x > e时为减函数,∴
∴r (x)在x > e时为减函数的,∴
∴| p (x) | < | q (x) |
∴比更靠近ln x.
综上:当a≥2且x≥1时,比更靠近ln x. 12分
20. (本小题满分10分)如图, 及其外接圆,过点作圆的切线交的延长线于,的角平分线分别交于点,若.试求.
参考答案:
由,得,由~可知.
21. 已知,
(Ⅰ)对一切,恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数在 上的最值;
(Ⅲ)证明:对一切,都有成立。
参考答案:
解:(Ⅰ)对一切恒成立,即恒成立.也就是在恒成立
令 ,
则,
在上,在上,因此,在处取极小值,也是最小值,即,所以
(Ⅱ)当 ,
,由得.
①当时,在上,在上
因此,在处取得极小值,也是最小值. .
由于
因此,
②当,,因此上单调递增,所以,
(Ⅲ)证明:问题等价于证明,
由(Ⅱ)知时,的最小值是,当且仅当时取得,
设,则,易知
,当且仅当时取到,
但从而可知对一切,都有成立
略
22. 如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况,市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查,并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析,得到下表:(单位:人)
经常使用网络外卖
偶尔或不使用网络外卖
合计
男性
50
50
100
女性
60
40
100
合计
110
90
200
(Ⅰ)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关?
(Ⅱ)①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人,再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷,求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率.
②将频率视为概率,从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常使用网络外卖的人数为,求的数学期望和方差.
参考公式:,其中.
参考数据:
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参考答案:
(1)由列联表可知的观测值,.
所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖