2022-2023学年福建省莆田市郊尾中学高二数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知P为△ABC所在平面α外一点,侧面PAB、PAC、PBC与底面ABC所成的二面角都相等,则P点在平面α内的射影一定是△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
参考答案:
A
2. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )
A. B. 5 C. D.
参考答案:
D
3. 是虚数单位,则复数的虚部等于( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 平面内有两个定点F1(﹣5,0)和F2(5,0),动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是( )
A.﹣=1(x≤﹣4) B.﹣=1(x≤﹣3)
C.﹣=1(x>≥4) D.﹣=1(x≥3)
参考答案:
D
【考点】双曲线的定义;双曲线的标准方程.
【分析】由条件知,点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支,从而写出轨迹的方程即可.
【解答】解:由|PF1|﹣|PF2|=6<|F1F2|知,点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支,
得c=5,2a=6,
∴a=3,
∴b2=16,
故动点P的轨迹方程是﹣=1(x≥3).
故选D.
5. 已知命题p:?x∈R,sinx≤1,则( )
A.?p:?x∈R,sinx≥1 B.?p:?x∈R,sinx≥1
C.?p:?x∈R,sinx>1 D.?p:?x∈R,sinx>1
参考答案:
C
【考点】命题的否定.
【分析】根据?p是对p的否定,故有:?x∈R,sinx>1.从而得到答案.
【解答】解:∵?p是对p的否定∴?p:?x∈R,sinx>1
故选C.
【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题.
6. 的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 已知向量,满足||=3,||=2,且⊥(),则与的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】数量积表示两个向量的夹角;数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【专题】平面向量及应用.
【分析】设与的夹角为θ,根据⊥(),则有()=0,利用向量的运算性质,即可求出cosθ=﹣,结合向量夹角的取值范围,即可求得答案.
【解答】解:设与的夹角为θ,
∵⊥(),则()=0,
∴||2+=0,即||2+||||cosθ=0,
又∵||=3,||=2,
∴32+3×2cosθ=0,则cosθ=﹣,
又∵θ∈[0,π],
∴θ=,
故与的夹角为.
故选:D.
【点评】本题考查了数量积求两个向量的夹角,数量积判断两个向量的垂直关系.根据数量积的定义可以求解两个向量的夹角,注意两个向量的夹角要共起点所形成的角,熟悉向量夹角的取值范围为[0,π],其中夹角为0时,两向量同向,夹角为π时,两向量反向.两个向量互相垂直,则其数量积为0.属于中档题.
8. 若双曲线M上存在四个点A,B,C,D,使得四边形ABCD是正方形,则双曲线M的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由正方形的对称性得,其对称中心在原点,且在第一象限的顶点坐标为(x,x),从而得到双曲线渐近线的斜率k=>1,由此能求出双曲线离心率的取值范围.
【解答】解:∵双曲线M上存在四个点A,B,C,D,使得四边形ABCD是正方形,
∴由正方形的对称性得,其对称中心在原点,
且在第一象限的顶点坐标为(x,x),
∴双曲线渐近线的斜率k=>1,
∴双曲线离心率e=>.
∴双曲线M的离心率的取值范围是(,+∞).
故选:A.
【点评】本题考查双曲线的离心率的取值的范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线性质的合理运用.
9. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.s
参考答案:
A
10. 用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,不等式左边需增加的项数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线y2=16x的焦点到双曲线渐近线的距离为 .
参考答案:
2
【考点】K8:抛物线的简单性质;KC:双曲线的简单性质.
【分析】先求出抛物线y2=16x的焦点,再求出双曲线的渐进线,由此利用点到直线的距离公式能求出抛物线y2=16x的焦点到双曲线渐近线的距离.
【解答】解:抛物线y2=16x的焦点(4,0),
双曲线的渐进线:,
∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线渐近线的距离为:
d=.
故答案为:2.
12. 中,三边长分别为,则 。
参考答案:
13. 已知,当且仅当 时,取得最小值为 .
参考答案:
2;4
试题分析:,当且仅当时等号成立,即,所以当时,取得最小值为4.
考点:基本不等式求最值
14. 设规定两向量之间的一个运算“”为:,若已知则= _____________.
参考答案:
-2,1
15. 不等式的解集为,则实数的取值范围是
参考答案:
16. 若函数在区间上是单调递增函数,则实数的取值范围是 .
参考答案:
17. 已知,若,则的最大值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)在直角坐标系中,已知两点A(x1,y1),B(x2,y2);x1,x2是一元二次方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根,且A、B两点都在直线y=﹣x+a上.
(1)求;
(2)a为何值时与夹角为.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】计算题;方程思想;转化思想;向量法;平面向量及应用.
【分析】(1)由判别式大于0求出a的范围,利用根与系数关系结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上求得;
(2)求出方程的根,结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上可得x1=y2,x2=y1,求出,再由数量积公式求出,与(1)中的结合得到关于a的方程,求解方程得答案.
【解答】解:(1)∵x1、x2是方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根,
∴△=4a2﹣8(a2﹣4)>0,解得:,
且x1+x2=a,,
又∵A、B两点都在直线y=﹣x+a上,
∴y1y2=(﹣x1+a)(﹣x2+a)==,
∴=;
(2)求解方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0,得,,
∴,同理y2=x1,
∴==.
当与夹角为时,,
∴a2﹣4=2,解得:.
∴.
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数关系,考查了平面向量的数量积运算,训练了灵活变形能力,是中档题.
19. 已知圆C的方程是,直线的方程是.
(1)判断该圆与直线的位置关系;
(2)求圆上的点到直线距离的最大值和最小值。
参考答案:
解析:(1)圆C的方程是,即,
圆心(2,2)到直线的距离,
所以 圆C与直线相离
(2)由(1)可知,
20. (本小题满分14分)
已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,求证:.
参考答案:
(1)
得0
∴在上递减,在上递增.
(2)∵函数在处取得极值,∴,
∴,
令,可得在上递减,在上递增,
∴,即.
(3)证明:,
令,则只要证明在上单调递增,
又∵,
显然函数在上单调递增.
∴,即,
∴在上单调递增,即,
∴当时,有.
21. 已知集合A={x∣x2-3(a+1)x+2(3a+1)<0},B=,
(1)当a=2时,求A∩B;
(2)求使BA的实数a的取值范围.
参考答案:
1)当a=2时,A=(2,7)B=(4,5)∴ ……………3分
(2)∵B=(2a,a2+1),
①当a<时,A=(3a+1,2)
要使必须
②
③a>时,A=(2,3a+1)要使,必须.
综上可知,使的实数a的范围为[1,3]∪{-1}. ………………12分
22. 函数角度看,可以看成是以r为自变量的函数,其定义域是.
(1)证明:
(2)试利用1的结论来证明:当n为偶数时,的展开式最中间一项的二项式系数最大;当n为奇数时的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.
参考答案:
(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】
(1)先根据组合数公式求出、,计算的值,从而证得结论;
(2)设,由(1)可得,令,可得
(等号不成立),故有当时,成立;
当时,成立.故最大,
当为奇数时,同理可证,从而证得结论.
【详解】(1)因为,又因为,
所以.
则成立.
(2)设,因为,,
所以.令,所以,
则(等号不成立),所以时,成立,
反之,当时,成立.
所以最大,即展开式最中间一项的二项式系数最大;
当为奇数时,设,其最中间有两项且,
由(1)知,显然,
,令,可得,
,当时,,且这两项为二项展开式最中间两项的系数,
所以时,成立;
由对称性可知:当时,成立,
又,故当为奇数时,的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.
【点睛】本题主要考查组合及组合数公式,二项式定理的应用以及二项式系数的性质,令,求出的范围是解本题的关键,考查学生的计算能力和逻辑推理能力,属于中档题.