2022-2023学年福建省漳州市吴川第二中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图的程序框图,则输出的值为
A. 2016 B. 2 C. D.
参考答案:
B
2. 函数在(0,+∞)内有且只有一个零点,则a的值为( )
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
参考答案:
A
【分析】
求出,对分类讨论,求出单调区间和极值点,结合三次函数的图像特征,即可求解.
【详解】,
若,,
在单调递增,且,
在不存在零点;
若,,
在内有且只有一个零点,
.
故选:A.
【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用,考查分类讨论思想,熟练掌握函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.
3. “”是“”的( )条件
A .充分不必要 B .必要不充分 C.充分条件 D.不充分不必要
参考答案:
A
略
4. 下列命题中真命题的个数为( )
①,使得. ②锐角中,恒有.
③,不等式成立的充要条件为:
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 设(其中e为自然对数的底数),则的值为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
考点:
定积分..
专题:
计算题.
分析:
因为f(x)为分段函数,分别在各区间对f(x)积分,相加可得所求的值.
解答:
解:∫0ef(x)dx=∫01x2dx+∫1edx=x3|01+lnx|1e=﹣0+lne﹣ln1=+1=.
故选A
点评:
本题为基础题,要求学生会进行积分运算.做题时学生应注意f(x)是分段函数,所以要分两部分积分.
6. 函数的最小正周期是( )
参考答案:
B
7. 已知命题p:,;命题q:,,则下列命题中为真命题的是:( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
考察函数图象可知: 命题为假命题,命题为真命题,所以为真命题.
8. ,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 已知点在角的终边上,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是的离心率e等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体
的体积为 .
参考答案:
略
12. 复数z=(a2﹣2a)+(a2﹣a﹣1)i的对应点在虚轴上,则实数a的值是 .
参考答案:
0或2.
【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】由题意可得:a2﹣2a=0,解出即可得出.
【解答】解:复数z=(a2﹣2a)+(a2﹣a﹣1)i的对应点在虚轴上,则a2﹣2a=0,解得a=0或2.
故答案为:0或2.
【点评】本题考查了复数的几何意义、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
13. 在中,过中线中点任作一直线分别交,于,两点,设,(),则的最小值是 ▲
参考答案:
略
14. 已知是双曲线的右焦点的右焦点,点分别在其两条渐进线上,且满足,(为坐标原点),则该双曲线的离心率为____________.
参考答案:
15. 已知函数.若不等式的解集为,则实数的值为 .
参考答案:
因为不等式的解集为,即是方程的两个根,即,所以,即,解得。
16. 体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱中,要求每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法有________种。
参考答案:
10
17. 已知函数的图像关于直线对称,则的值是 .
参考答案:
3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点分别在棱,上移动,且.
(Ⅰ)当时,证明:直线∥平面;
(Ⅱ)是否存在,使平面与面所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
参考答案:
几何方法
(Ⅰ)证明:如图1,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.
当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1
所以BC1∥FP.
而FP平面EFPQ, 且BC1平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.
图1 图2 图3
(Ⅱ)如图2,连接BD. 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.
又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,
从而EF∥PQ,且EF=PQ.
在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,
于是EQ=FP=,所以四边形EFPQ是等腰梯形.
同理可证四边形PQMN是等腰梯形.
分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,
则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,
故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.
若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.
连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN,知四边形EFNM是平行四边形.
连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.
在△GOH中,GH2=4,OH2=,
OG2=,
由OG2+OH2=GH2,得,解得,
故存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.
向量方法:
以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3所示的空间
直角坐标系D—xyz. 由已知得
B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ)
=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0)
(Ⅰ)证明:当λ=1时,=(-1,0,1),
因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.
而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.
(Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则
由 可得于是可取n=(λ,-λ,1).
同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1)
若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,
则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)- λ(2-λ)+1=0,
解得.
故存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.
19. (本小题满分13分)
已知椭圆的离心率,直线经过椭圆C的左焦点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若过点的直线与椭圆C交于A,B两点,设P为椭圆上一点,且满足(其中O为坐标原点),求实数t的取值范围.
参考答案:
∵点在椭圆上,∴,
∴ …………………………………………………………………11分
,
∴的取值范围是为. …………………………13分
20. (本小题满分12分)已知单调递增的等比数列满足:,且
是的等差中项.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;(Ⅱ) 若,,求使成立的正整数的最小值.
参考答案:
【知识点】数列与不等式的综合;等比数列的通项公式;数列的求和.
【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ) 6
解析 :解:(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为
依题意,有,代入,
可得,,
解之得 或又数列单调递增,
,,
数列的通项公式为 …………………6分
(Ⅱ) ,,
,
两式相减,得
即,即
从而 故正整数的最小值为6.
使成立的正整数的最小值为6. …………………12分
【思路点拨】(I)由题意,得,由此能求出数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)结合已知可得数列{bn}的前项和Sn=2n+1-2-n?2n+1,使成立的正整数n的最小值.
21. 已知函数
(I)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求使函数取得最大值的的集合.
参考答案:
(Ⅰ) f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)
= 2[sin2(x-)- cos2(x-)]+1
=2sin[2(x-)-]+1
= 2sin(2x-) +1
∴ T==π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x-)=1,
有 2x- =2kπ+
即x=kπ+ (k∈Z)
∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ , (k∈Z)}.
22. 已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值;
(2)求a2+b2+c2的最小值.
参考答案:
【考点】一般形式的柯西不等式.
【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(1)运用绝对值不等式的性质,注意等号成立的条件,即可求得最小值;
(2)运用柯西不等式,注意等号成立的条件,即可得到最小值.
【解答】解:(1)因为f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c≥|(x+a)﹣(x﹣b)|+c=|a+b|+c,
当且仅当﹣a≤x≤b时,等号成立,
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值为a+b+c,
所以a+b+c=4;
(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得,
(a2+b2+c2)(4+9+1)≥(?2+?3+c?1)2=(a+b+c)2=16,
即a2+b2+c2≥
当且仅当==,即a=,b=,c=时,等号成立.
所以a2+b2+c2的最小值为.
【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算能力,属于中档题.