2022-2023学年安徽省合肥市孤堆回族中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线 的一个焦点在圆 上,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 如下图,矩形ABCD中,点E为边CD上任意一点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=
A.2 B.3
C.4 D.8
参考答案:
D
抛物线的焦点是,椭圆的焦点是,
∴,∴.
4. 已知各项为正的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为,则2a7+a11的最小值为( )
A.16 B.8 C. D.4
参考答案:
B
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】由各项为正的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为,知a4?a14=(2)2=8,故a7?a11=8,利用均值不等式能够求出2a7+a11的最小值.
【解答】解:∵各项为正的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为,
∴a4?a14=(2)2=8,
∴a7?a11=8,
∵a7>0,a11>0,
∴2a7+a11≥2=2=8.
故选B.
5. 现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如下两个等高堆积条形图:
根据这两幅图中的信息,下列统计结论是不正确的是( )
A. 样本中的女生数量多于男生数量
B. 样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
C. 样本中的男生偏爱理科
D. 样本中的女生偏爱文科
参考答案:
D
由条形图知女生数量多于男生数量,有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量,男生偏爱理科,女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量,所以选D.
6. 已知,是平面外的两条直线,且,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
7. 下列函数中,是奇函数且在区间内单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
A. 是非奇非偶函数; B. 是奇函数,且在区间内单调递减; C.是奇函数,但在区间内单调递增; D.是奇函数,但在区间内单调递增。
8. 设集合,,则
、 、 、 、
参考答案:
D
,,答案为.
9. 给出30个数:1,2,4,7,11,……其规律是:
第一个数是1,
第二个数比第一个数大1,
第三个数比第二个数大2,
第四个数比第三个数大3,……
以此类推,要计算这30个数的和,现已给出了该问题的程序框图如右图所示,那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入
A. B.
C. D.
参考答案:
D
10. 已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中不正确的是
(A)若则 (B)若则
(C)若,则 (D)若,则
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线C:与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则当时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为___________.
参考答案:
略
12. 设函数的导数为,且,则=______.
参考答案:
0
【分析】
对求导,可得,将代入上式即可求得:,即可求得,将代入即可得解
【详解】因为,所以.
所以,则,
所以
则,
故.
【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法,考查方程思想及计算能力,属于中档题。
13. 已知平面向量若与垂直, 则等于
参考答案:
略
14. (选修4-4坐标系与参数方程)曲线(为参数)与曲线的交点个数为 个.
参考答案:
2,
略
15. 若曲线y=lnx的一条切线是直线y=x+b,则实数b的值为 .
参考答案:
﹣1+ln3
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出函数的导数,通过旗下的斜率,列出方程求解即可.
【解答】解:曲线y=lnx,可得y′=,曲线y=lnx的一条切线是直线y=x+b,
可得=,解得切点的横坐标x=3,则切点坐标(3,ln3),
所以ln3=1+b,可得b=﹣1+ln3.
故答案为:﹣1+ln3.
16. 一个空间几何体的三视图(单位:)如图所示,则该几何体的体积为 ..
参考答案:
17. 执行如图所示的程序框图,则输出的复数z是 .
参考答案:
考点:
程序框图.
专题:
图表型.
分析:
由z0的值可知:z0为1的一个3次虚根,再根据判断框可知需要计算的次数即可得出答案.
解答:
解:计算可得:z02=﹣﹣i,z03=1,即z0为1的一个3次虚根.
由循环结构可得:当n=2013时,还要计算一次得z=z02014=z0 671×3+1=z0.
而n←2013+1>2013,
由判断框可知:要跳出循环结构.
故输出的值为z0←.
故答案为:.
点评:
熟练掌握循环结构的功能及1的一个3次虚根的周期性是解题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数(其中),﹒
(Ⅰ)若命题“”是真命题,求x的取值范围;
(Ⅱ)设命题p:,或,若是假命题,求m的取值范围﹒
参考答案:
即其等价于
…………………3分
解得,…………………4分
故所求x的取值范围是;…………………5分
(Ⅱ)因为是假命题,则为真命题,…………………6分
而当x>1时,>0,…………………7分
又是真命题,则时,f(x)<0,
所以,即;…………………9分
(或据解集得出)
故所求m的取值范围为﹒…………………10分
19. (本小题满分16分)
如图,将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转a (0<a<)得到正方形A′B′C′D′.根据平面几何知识,有以下两个结论:
①∠A′FE=a;
②对任意a (0<a<),△EAL,△EA′F,△GBF,
△GB′H,△ICH,△IC′J,△KDJ,△KD′L均是全等三角形.
(1)设A′E=x,将x表示为a的函数;
(2)试确定a,使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小,并求最小面积.
参考答案:
解:(1)在Rt△EA′F中,因为∠A′FE=a,A′E=x,
所以EF=,A′F= .
由题意AE=A′E=x,BF=A′F=,
所以AB=AE+EF+BF=x++=3.
所以x=,a?(0,) ………………… 6分
(2)S△A′EF=?A′E?A′F=?x?=
=()2?=. ………………… 10分
令t=sina+cosa,则sinacosa=.
因为a?(0,),所以a+?(,),所以t=sin(a+)?(1,].
S△A′EF==(1-)≤(1-).
正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积
S=S正方形A′B′C′D′-4S△A′EF≥9-9 (1-)=18(-1).
当t=,即a=时等号成立. ………………… 15分
答:当a=时,正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小,最小值为18(-1).……… 16分
20. 设m个正数a1,a2,…,an(m≥4,m∈N*)依次围成一个圆圈.其中a1,a2,a3,…,ak﹣1,ak(k<m,k∈N*)是公差为d的等差数列,而a1,am,am﹣1,…,ak+1,ak是公比为q的等比数列.
(1)若a1=d=1,q=2,k=8,求数列a1,a2,…,am的所有项的和Sm;
(2)若a1=d=q=3,m<2015,求m的最大值;
(3)当q=2时是否存在正整数k,满足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3(ak+1+ak+2+…+am﹣1+am)?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】等比关系的确定;等比数列的通项公式.
【专题】分类讨论;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】(1)由题意可得:ak=8,因此数列a1,a2,…,am为1,2,3,4,5,6,7,8,4,2共10个数,即可得出.
(2)由于a1,a2,a3,…,ak﹣1,ak(k<m,k∈N*)是首项为3,公差为3的等差数列,可得ak=3k.而a1,am,am﹣1,…,ak+1,ak是公比为q的等比数列,可得ak=3m+2﹣k,因此3k=3m+2﹣k,要使m最大,则k必须最大.又k<m<2015,即可得出;
(3)由a1,a2,a3,…,ak﹣1,ak(k<m,k∈N*)是公差为d的等差数列,可得ak=a1+(k﹣1)d.而a1,am,am﹣1,…,ak+1,ak是公比为2的等比数列,可得ak=.故a1+(k﹣1)d=,(k﹣1)d=a1(2m+1﹣k﹣1).又a1+a2+…+ak﹣1+ak=3(ak+1+ak+2+…+am﹣1+am),am=2a1,化简整理即可得出.
【解答】解:(1)由题意可得:ak=8,因此数列a1,a2,…,am为1,2,3,4,5,6,7,8,4,2共10个数,此时m=10,Sm=42.
(2)∵a1,a2,a3,…,ak﹣1,ak(k<m,k∈N*)是首项为3,公差为3的等差数列,
∴ak=3k.
而a1,am,am﹣1,…,ak+1,ak是公比为q的等比数列,
∴ak=3m+2﹣k,因此3k=3m+2﹣k,
∴k?3k=3m+1,
要使m最大,则k必须最大.
又k<m<2015,故k的最大值为 36,可得36?3729=3m+1,解得m的最大值是734.
(3)由a1,a2,a3,…,ak﹣1,ak(k<m,k∈N*)是公差为d的等差数列,可得ak=a1+(k﹣1)d.
而a1,am,am﹣1,…,ak+1,ak是公比为2的等比数列,∴ak=.
故a1+(k﹣1)d=,∴(k﹣1)d=a1(2m+1﹣k﹣1).
又a1+a2+…+ak﹣1+ak=3(ak+1+ak+2+…+am﹣1+am),am=2a1,
∴=3×2a1×,则ka1+=6(2m﹣k﹣1),
则+k=6(2m﹣k﹣1),即k?2m+1﹣k+k=6×2m+1﹣k﹣12,
k≠6,则2m+1﹣k==﹣1+,∴k<6,
代入验证可得:当k=4时,上式等式成立,此时m=6.综上可得:当且仅当m=6时,存在k=4满足等式.
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
21. (本小题满分12分)
如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是矩形,且平面平面,,.
(Ⅰ)若点是的中点,求证:平面;
(Ⅱ)若点在线段上,且,当三棱锥的体