2022-2023学年江苏省南京市育才实验中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设向量,m是向量a 在向量b向上的投影,则m的最大值是 ( )
A. B.4 (c)2 D.3
参考答案:
C
2. 若实数a,b满足 ,其中,且,则
A. B.
C. D.
参考答案:
C
当时, ,得到,所以.
当时, ,得到,所以,选C
3. 集合,,则集合M∩N=
A. {-1,0,1} B. {0,1} C. {0} D.
参考答案:
C
略
4. 化简的结果是( )
A B C cos80° D
参考答案:
C
略
5. 若函数图象关于对称,则实数的值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 已知函数f(x)=,若f(1)=f(﹣1),则实数a的值等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.
【分析】由分段函数f(x),我们易求出f(1),f(﹣1)的值,进而将式子f(1)=f(﹣1)转化为一个关于a的方程,结合指数的函数的值域,及分段函数的解析式,解方程即可得到实数a的值.
【解答】解:∵函数,
∴f(﹣1)=2,f(1)=a,
若f(1)=f(﹣1),
∴a=2,
故选B.
7. 下图是2010年我市举行的名师评选活动中,七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.84,4.84 B.84, 1.6 C.85,1.6 D.85,4
参考答案:
C
略
8. ,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 下列所给4个图象中,与所给3件事吻合最好的顺序为( )
(1)小明离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学;
(2)小明骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;
(3)小明出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
A.(4)(1)(2) B.(4)(2)(3) C.(4)(1)(3) D.(1)(2)(4)
参考答案:
A
【考点】3O:函数的图象.
【分析】根据小明所用时间和离开家距离的关系进行判断.根据回家后,离家的距离又变为0,可判断(1)的图象开始后不久又回归为0;
由途中遇到一次交通堵塞,可判断中间有一段函数值没有发生变化;
由为了赶时间开始加速,可判断函数的图象上升速度越来越快.
【解答】解:(1)离家不久发现自己作业本忘记在家里,回到家里,这时离家的距离为0,故应先选图象(4);
(2)骑着车一路以常速行驶,此时为递增的直线,在途中遇到一次交通堵塞,则这段时间与家的距离必为一定值,故应选图象(1);
(3)最后加速向学校,其距离随时间的变化关系是越来越快,故应选图象(2).
故答案为:(4)(1)(2),
故选:A.
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势,找出关键的图象特征,对四个图象进行分析,即可得到答案.
10. (3分)在△ABC中,点D在线段BC上,且=,点O在线段DC上(与点C,D不重合)若=xy,则x﹣y的取值范围是()
A. (﹣1,0) B. (﹣1,﹣) C. (﹣2,﹣1) D. (﹣,﹣1)
参考答案:
B
考点: 平面向量的基本定理及其意义.
专题: 平面向量及应用.
分析: 根据所给的数量关系,写出要求向量的表示式,注意共线的向量之间的三分之一关系,根据表示的关系式和所给的关系式进行比较,得到结果.
解答: ∵==﹣m=﹣m(﹣)=m+(1﹣m),
∵=,点O在线段DC上(与点C,D不重合),
∴m∈(0,),
∵=xy,
∴x=m,y=1﹣m,
∴x﹣y=m﹣(1﹣m)=﹣1+2m,
∴x﹣y∈(﹣1,﹣)
故选:B
点评: 本题考查向量的基本定理,是一个基础题,这种题目可以出现在解答题目中,也可以单独出现,注意表示向量时,一般从向量的起点出发,绕着图形的边到终点.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 个正数排成行列:
其中每一行的数由左至右成等差数列,每一列的数由上至下成等比数列,并且所有公比相等,已知,,,则= .
参考答案:
12. 若平面向量与夹角为60°,,且,则 .
参考答案:
1
13. 给出下列命题:
①存在实数,使;
②存在实数,使;
③函数是偶函数;
④是函数的一条对称轴方程;
⑤若是第二象限的角,且,则;
⑥在锐角三角形ABC中,一定有;
其中正确命题的序号是 _ ____。
参考答案:
③④⑥
略
14. 命题“若”的否命题为 ;
参考答案:
若,则;
15. 已知x、y为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则集合M中所有元素之和为 .
参考答案:
略
16. 如右图,棱长为的正方体中,为线段上的动点(不含端点),下列结论:
①与平面所成角为 ②
③二面角 的大小为 ④的最小值为
其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号)
参考答案:
②③④
17. 若,,且与的夹角为,则 。
参考答案:
解析:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (10分)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
参考答案:
考点: 根据实际问题选择函数类型;函数的最值及其几何意义.
专题: 应用题;压轴题.
分析: (Ⅰ)严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可;
(Ⅱ)从月租金与月收益之间的关系列出目标函数,再利用二次函数求最值的知识,要注意函数定义域优先的原则.作为应用题要注意下好结论.
解答: 解:(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,
未租出的车辆数为,
所以这时租出了88辆车.
(Ⅱ)设每辆车的月租金定为x元,
则租赁公司的月收益为,
整理得.
所以,当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050,
即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元.
点评: 本题以实际背景为出发点,既考查了信息的直接应用,又考查了目标函数法求最值.特别是二次函数的知识得到了充分的考查.在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题,非常值得研究.
19. 已知在映射的作用下的像是,求在作用下的像和在作用下的原像.(12分)
参考答案:
的像是, 的原像是或
略
20. 已知分别以为公差的等差数列满足。
(1)若,且存在正整数,使得,求证:;
(2)若,且数列的前项和满足
,求数列的通项公式;
(3) 在(2)的条件下,令,问不等式是否对 恒成立?请说明理由。
参考答案:
解:(1)依题意,,
即, 即;
等号成立的条件为,即 ,
,等号不成立,原命题成立.
(2)由得:,即:,
则,得
,,则,;
(3)在(2)的条件下,,,
要使≤,即要满足≤0,
又,,∴数列单调减;单调增,
① 当正整数时,,,;
② 当正整数时,,,;
③ 当正整数时,,,,
综上所述,对∈N+,不等式≤恒成立.
略
21. 若|sinθ| =,且<θ< 5π, 求:
(1)tanθ的值;
(2)若直线的倾斜角为θ,并被圆(x-1)2+(y+1)2=5截得弦长为4,求这条直线的方程
参考答案:
略
22. (10分)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣n2+3n﹣2(n∈N*).
(Ⅰ)求证:数列{an+2n}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=,求数列{bn}的前n项和Bn;
(Ⅲ)若cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.
参考答案: