2021年广东省汕头市蓝天中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f()的值为( )
A. 1 B. 2 C.0 D.
参考答案:
B
略
2. 如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( )
A.i≤1009 B.i>1009 C.i≤1010 D.i>1010
参考答案:
A
【考点】程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出S的值.
【解答】解:程序运行过程中,各变量值如下表所示:
第一次循环:S=0+1,i=1,
第二次循环:S=1+,i=2,
第三次循环:S=1++,i=3,…
依此类推,第1009次循环:S=1+++…+,i=1010,此时不满足条件,退出循环
其中判断框内应填入的条件是:i≤1009,
故选:A.
【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.
3. 下列说法正确的个数是( )
①“若a+b≥4,则a,b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题
② 命题“设a,b∈R,若a+b≠6,则a≠3或b≠3”是一个真命题
③“”的否定是“”
④a+1>b是a>b的一个必要不充分条件
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
对于①,原命题的逆命题为:若中至少有一个不小于,则,而满足中至少有一个不小于,但此时,故①是假命题;对于②,此命题的逆否命题为“设,若且,则”,此命题为真命题,所以原命题也是真命题,故②是真命题;对于③“”的否定是“”,故③是假命题;对于④,由可推得,故④是真命题,故选C.
4. 已知等差数列的公差为,前项和为,且,则( )
A.0 B.1009 C.2017 D.2018
参考答案:
B
详解:∵,∴,即,又,∴,∴,
∴ .
故选B.
5. 已知向量=(1,0),=(0,1),则下列向量中与向量2+垂直的是( )
A. + B.﹣ C.2﹣ D.﹣2
参考答案:
D
【考点】平面向量的坐标运算.
【分析】根据坐标运算求出2+和﹣2的坐标,计算即可.
【解答】解: =(1,0),=(0,1),
则2+=(2,1),
而﹣2=(1,﹣2),
故(2+)(﹣2)=0,
故选:D.
6. (5分)已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. 3
参考答案:
B
【考点】: 双曲线的简单性质;抛物线的简单性质.
【专题】: 计算题;压轴题.
【分析】: 先求出抛物线y2=8x的焦点坐标,由此得到双曲线的一个焦点,从而求出a的值,进而得到该双曲线的离心率.
解:∵抛物线y2=8x的焦点是(2,0),
∴c=2,a2=4﹣1=3,
∴e=.
故选B.
【点评】: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要抛物线的性质进行求解.
7. 已知为虚数单位,复数满足,且,则( )
A.2或-4 B.-4 C.2 D.±4
参考答案:
A
8. 函数的最小正周期为π,则该函数图象
(A)关于直线对称 (B)关于直线对称
(C)关于点对称 (D)关于点对称
参考答案:
D
略
9. 已知函数y=,那么( )
A.函数的单调递减区间为(﹣∞,1),(1,+∞)
B.函数的单调递减区间为(﹣∞,1]∪(1,+∞)
C.函数的单调递增区间为(﹣∞,1),(1,+∞)
D.函数的单调递增区间为(﹣∞,1]∪(1,+∞)
参考答案:
A
【考点】函数单调性的判断与证明.
【专题】数形结合;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】函数y=可看作y=向右平移1个单位得到,由y=的单调性可得.
【解答】解:函数y=可看作y=向右平移1个单位得到,
∵y=在(﹣∞,0)和(0,+∞)单调递减,
∴y=在(﹣∞,1)和(1,+∞)单调递减,
故选:A
【点评】本题考查函数的单调性,利用已知函数的单调性和图象平移是解决问题的关键,属基础题.
10. 设其中实数满足,若的最大值为,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 中,角所对的边分别为,下列命题正确的是________(写出正确命题的编号).
②若AsinB>BsinA,则B>A
③存在某钝角,有;
④若,则的最小角小于;
⑤若,则.
参考答案:
①④⑤
12. 用数学归纳法证明时,当时,其形式是
参考答案:
13. 若,则实数的取值范围是 。
参考答案:
14. 函数在区间上为减函数,则的取值范围为
参考答案:
15. 已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是
参考答案:
16. 已知函数f(x)=若f(2﹣a2)>f(a),则实数a的取值范围为 .
参考答案:
(﹣2,1)
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;二次函数的性质.
【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性,从而得到函数f(x)的单调性,由此性质转化求解不等式,解出参数范围即可.
【解答】解:函数f(x),当x≥0 时,f(x)=x2+4x,由二次函数的性质知,它在[0,+∞)上是增函数,
当x<0时,f(x)=4x﹣x2,由二次函数的性质知,它在(﹣∞,0)上是增函数,
该函数连续,则函数f(x) 是定义在R 上的增函数
∵f(2﹣a2)>f(a),
∴2﹣a2>a
解得﹣2<a<1
实数a 的取值范围是(﹣2,1)
故答案为:(﹣2,1)
17. 一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球,一次摸出5个球,在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率是 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2A=﹣,c=,sinA=sinC.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ) 若角A为锐角,求b的值及△ABC的面积.
参考答案:
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(Ⅰ)根据题意和正弦定理求出a的值;
(Ⅱ)由二倍角的余弦公式变形求出sin2A,由A的范围和平方关系求出cosA,由余弦定理列出方程求出b的值,代入三角形的面积公式求出△ABC的面积.
【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,因为,
由正弦定理,
得.…
(Ⅱ) 由得,,
由得,,
则,
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,
化简得,b2﹣2b﹣15=0,解得b=5或b=﹣3(舍负).
所以. …
19. (13分)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的三条对边,且c2=a2+b2﹣ab.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求cosA+cosB的最大值.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(Ⅰ)根据余弦定理直接求解角C的大小.
(Ⅱ)根据三角形内角和定理消去B,转化为三角函数的问题求解最大值即可.
【解答】解:(Ⅰ)c2=a2+b2﹣ab.即ab=a2+b2﹣c2
由余弦定理:cosC==,
∵0<C<π,
∴C=.
(Ⅱ)∵A+B+C=π,C=.
∴B=,且A∈(0,).
那么:cosA+cosB=cosA+cos()=sin(),
∵A∈(0,).
∴,
故得当=时,cosA+cosB取得最大值为1.
【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题.属于基础题.
20. (13分)在测试中,客观题难度的计算公式为Pi=,其中Pi为第i题的难度,Ri为答对该题的人数,N为参加测试的总人数.
现对某校髙三年级120名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如表所示:
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度Pi
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后,从中随机抽取了10名学生,将他们编号后统计各题的作答情况,如表所示(“√”表示答对,“×”表示答错):
题号
学生编号
1
2
3
4
5
1
×
√
√
√
√
2
√
√
√
√
×
3
√
√
√
√
×
4
√
√
√
×
×
5
√
√
√
√
√
6
√
×
×
√
×
7
×
√
√
√
×
8
√
×
×
×
×
9
√
√
×
×
×
10
√
√
√
√
×
(I)根据题中数据,将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入表,并估计这120名学生中第5题的实测答对人数;
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
实测难度
(Ⅱ)从编号为1到5的5人中随机抽取2人,求恰好有1人答对第5题的概率;
(Ⅲ)定义统计量S=[(P′1﹣P1)2+(P′2﹣P2)2+…+(P′n﹣Pn)2],其中P′i为第i题的实测难度,Pi为第i题的预估难度(i=l,2,…,n),规定:若S<0.05,则称该次测试的难度预估合理,否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(I)根据题中数据,统计各题答对的人数,进而根据Pi=,得到难度系数;
(Ⅱ)根据古典概型概率计算公式,可得从编号为1到5的5人中随机抽取2人,求恰好有1人答对第5题的概率;
(Ⅲ)由S= [(P′1﹣P1)2+(P′2﹣P2)2+…+(P′n﹣Pn)2]计算出S值,与0.05比较后,可得答案.
【解答】解:(I)根据题中数据,可得抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表所示:;
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
8
8
7
7
2
实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
估计120人中有120×0.2=24人答对第5题
(Ⅱ)从编号为1到5的5人中随机抽取2人,
共有=10种不同的情况,
其中恰好有1人答对第5题的有=6种不同的情况,
故恰好有1人答对第5题的概率P==;
(Ⅲ)由题意得:S= [(0.8﹣0.9)2+(0.8﹣0.8)2+(0.7﹣0.7)2+(0.7﹣0.6)2+(0.2﹣0.4)2]=0.012<0.05,
故该次测试的难度预估合理.
【点评】本题考