2021年湖南省岳阳市市第五中学高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设复数(i为虚数单位),则z的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. –i D. i
参考答案:
A
2. 设点是线段BC的中点,点A在直线BC外,,,则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
A
3. 若是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
参考答案:
D
【分析】
利用空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定理,逐项判定,即可求解.
【详解】对于A中,若,则,所以不正确;
对于B中,若,则与的关系不能确定,所以不正确;
对于C中,若,则与的关系不能确定,所以不正确;
对于D中,若,可得,又由,可得,所以是正确的.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了空间线面、面面位置关系的判定定理与性质定理,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于中档试题.
4. 设O在△ABC的内部,且有则△ABC的面积和△AOC的面积之比为( )
参考答案:
A
略
5. 已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数与y= f(x)图像的交点为( x1, y1), ( x2, y2),…, ( xm, ym),则( )
(A)0 (B)m (C)2m (D)4m
参考答案:
B
由f(-x)=2-f(x)得f(x)关于(0,1)对称,
而也关于(0,1)对称,
∴对于每一组对称点 ,
∴,故选B.
6. 若复数z满足(1+i)z=2﹣i,则|z|=( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
B
考点:复数求模.
专题:数系的扩充和复数.
分析:利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.
解答: 解:复数z满足(1+i)z=2﹣i,
∴==,
则|z|==.
故选:B.
点评:本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题.
7. 已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上相邻两个最高点的距离为π,若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象关于x=轴对称,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin(x+) B.f(x)=2sin(2x+)
C.f(x)=2sin(x+) D.f(x)=2sin(2x+)
参考答案:
B
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由周期求出ω,根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律、正弦函数的对称性,求出φ的值,可得函数的解析式.
【解答】解:由题意知: =π,得ω=2,向左平移个单位长度后得f(x)=2sin(2x++φ),
因为,所得图象关于x=轴对称,
所以, ++φ=kπ+,k∈Z,
所以,φ=kπ﹣,k∈Z,
因为,0<φ<π,
所以,φ=.
可得f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).
故选:B.
8. (2015·湖北教学合作联考)已知由不等式组
确定的平面区域Ω的面积为7,定点M的坐标为(1,-2),若N∈Ω,O为坐标原点,则的最小值是( )
A.-8 B.-7
C.-6 D.-4
参考答案:
B
9. 设,若,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10.
向量a,b满足,则向量a与b的夹角为 ( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
参考答案:
答案:C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若某程序框图如图所示,则运行结果为 .
参考答案:
5
略
12. 抛物线与其过原点的切线所围成的图形面积为 .
参考答案:
略
13. 已知定义在R上的函数是奇函数且满足,,数列满足,且 (其中为的前项和),则 __▲.
参考答案:
3
略
14. 在平面直角坐标系中,已知,,点在第一象限内,,且,若,则+的值是 .
参考答案:
15. 双曲线的渐近线方程为,=_____________
参考答案:
1
16. 若全集,则
参考答案:
17. 若关于的方程的两实根,满足,则实数的取值范围是 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 为建立健全国家学生体质健康监测评价机制,激励学生积极参加身体锻炼,教育部印发《国家学生体质健康标准》,要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作,某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试(健康指数满分100分),并从中随机抽取了200名学生的数据,根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图知,该市学生的健康指数X近似服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.
①求;
②已知该市高三学生约有10000名,记体质健康指数在区间的人数为,试求.
附:参考数据,
若随机变量服从正态分布,则,.
参考答案:
(1)75,135;(2)①;②.
【分析】
(1)以组中值代替小组平均值,根据加权平均数公式计算平均数,根据方差公式计算;
(2)①利用正态分布的性质求得;
②根据二项分布的期望公式得出.
【详解】(1)由频率分布直方图可知,各区间对应的频数分布表如下:
分值区间
频数
5
15
40
75
45
20
∴,
.
(2)①由(1)知服从正态分布,且,
∴.
②依题意,服从二项分布,即~,则.
【点睛】本题考查了正态分布的性质与应用,考查了二项分布的期望公式,考查了频率平均数与方差的运算,属于中档题.
19. 已知过抛物线E:x2=2py(p>0)焦点F且倾斜角的60°直线l与抛物线E交于点M,N,△OMN的面积为4.
(Ⅰ)求抛物线E的方程;
(Ⅱ)设P是直线y=﹣2上的一个动点,过P作抛物线E的切线,切点分别为A、B,直线AB与直线OP、y轴的交点分别为Q、R,点C、D是以R为圆心、RQ为半径的圆上任意两点,求∠CPD最大时点P的坐标.
参考答案:
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】(Ⅰ)利用点斜法写出直线l的方程为;结合△OMN的几何意义和三角形的面积求法求得p的值即可;
(Ⅱ)设,由x2=4y得,易得切线PA、PB的直线方程,把点P的坐标代入得到直线AB的方程tx﹣2y+4=0,由R的坐标和圆半径的计算方法求得半径的长度,则当PC,PD与圆R相切时角∠CPD最大,所以利用锐角三角函数的定义和不等式的基本性质进行解答即可.
【解答】解:(Ⅰ)依题意,,所以直线l的方程为;
由得:,
法一:所以,
O到MN的距离,
∴p=2,抛物线方程为x2=4y;
法二:,,故抛物线方程为x2=4y.
(II)设,由x2=4y得,
则切线PA方程为即,
同理,切线PB方程为,
把P代入可得,故直线AB的方程为即tx﹣2y+4=0,
∴R(0,2)由得,
∴,
当PC,PD与圆R相切时角∠CPD最大,
此时,等号当时成立,
∴当时,所求的角∠CPD最大.
综上,当∠CPD最大时点P的坐标为.
法二:同解法一,得AB:tx﹣2y+4=0,注意到OP⊥AB,
∴,
∴
当且仅当t2+8即时等号成立.
20. (本小题满分12分) 如图ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面 ABCD,E是PC的中点.
求证:(1).PA//平面BDE;(2).平面PAC平面BDE.
参考答案:
【知识点】线面平行,面面垂直 G4 G5
(1)略(2)略
证: (1) 连接, ………… (1分)
在中,为中点,为中点.,
…… (3分)
又平面,平面,.………… (6分)
(2)底面. ………… (8分)
又,平面. ………… (10分)
又平面,∴平面平面. ………(12分)
【思路点拨】(1)线面平行问题中,通常通过线线平行得以证明,
此题中,,所以.
(2)面面垂直通过线面垂直证明,本问中易得平面,从而平面平面.
21. 如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率,过点和的直线与原点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知定点,若直线与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以为直径的圆过点?请说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)直线AB方程为:
依题意 解得
∴ 椭圆方程为. 4分
(Ⅱ)假若存在这样的k值,由得.
∴ ① 6分
设,、,,则 ② 7分
而. 8分
要使以CD为直径的圆过点E(-1,0),当且仅当CE⊥DE时,则,
即 ∴ ③
将②式代入③整理解得. 10分
经验证,,使①成立. 11分
综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E. 12分
22. 已知集合A={x|1
0时,A=,∵AB,∴∴,∴a≥2.(3)当a<0时,A=.
∵A?B,∴,∴a≤-2. 综上可知:a=0或a≥2或a≤-2.
略