2021年湖南省常德市杉板中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知奇函数当时,,则当时,的表达式是
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
2. 已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π),若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数,则实数φ=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位后可得y=sin[2(x+)+φ](0<φ<π),再依据它是偶函数得,2×+?=,从而求出?的值.
【解答】解:∵函数y=sin(2x+?)(0<φ<π)的图象向左平移个单位后可得y=sin[2(x+)+?](0<φ<π),
又∵它是偶函数,
∴2×+φ=,
∵0<φ<π,
∴φ的值.
故选:D.
3. 直线(t为参数)的倾斜角是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 设F1,F2是双曲线的两个焦点,P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时,的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
参考答案:
B
【考点】双曲线的应用.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】求得双曲线的焦点坐标,利用△F1PF2的面积为2,确定P的坐标,利用向量的数量积公式,即可求得结论.
【解答】解:双曲线的两个焦点坐标为F1(﹣2,0),F2(2,0)
设P的坐标为(x,y),则
∵△F1PF2的面积为2
∴
∴|y|=1,代入双曲线方程解得|x|=
∴=(﹣2﹣x,﹣y)(2﹣x,﹣y)=x2﹣4+y2=3
故选B.
【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查向量的数量积运算,确定P的坐标是关键.
5. 一个正三角形的外接圆的半径为1,向该圆内随机投一点P,点P恰好落在正三角形内的概率是 ( )
. . . .
参考答案:
A
6. 直线关于轴对称的直线方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据
如下:
f (1) = -2
f (1.5) = 0.625
f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260
f (1.4375) = 0.162
f (1.40625) = -0.054
那么方程的一个近似根(精确到0.1)为
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
参考答案:
C
略
8. 复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
A
分析:先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.
详解:由题得,所以复数z在复平面内对应的点为(2,4),故答案为:A.
点睛:(1)本题主要考查复数的运算和复数的几何意义,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是(a,b),点(a,b)所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点(a,b)是一一对应的关系.
9. 已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数的最大值为8,则k=
A. B. C. D.6
参考答案:
B
10.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设 满足约束条件 ,则的最大值为 。
参考答案:
5
12. 已知都是正实数, 函数的图象过点,则的最小值是 .
参考答案:
略
13. 函数的定义域是________________
参考答案:
14. 已知“3x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件,则p的取值范围是____________.
参考答案:
略
15. 给出下面的程序框图,那么其循环体执行的次数是
参考答案:
从运行到步长为,运行次数为499
16. 在极坐标系中,若直线的方程是,点的坐标为,则点到直线的距离 .
参考答案:
2
略
17.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题16分)野营活动中,学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架(如图3)进行野炊训练。 已知,、两点间距离为。
(1)求斜杆与地面所成角的大小(用反三角函数值表示);
(2)将炊事锅看作一个点,用吊绳将炊事锅吊起烧水(锅的大小忽略不计),若使炊事锅到地面及各条斜杆的距离都不小于30,试问吊绳长的取值范围。
参考答案:
(1)设P点在平面ABC上的射影为点O,连接CO,,
在Rt△POC中,,所以 。
即PC与底面ABC所成角的大小为。 ……6分
(2)在Rt△POC中,解得,
作交PC于D点,
由,得。
又,
故吊绳长度的取值范围为. ……………………………16分
略
19. 已知的角所对的边,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的最大值并判断这时三角形的形状.
参考答案:
解.(1)由正弦定理得,
所以,
,所以,求得
(2)由余弦定理得,
所以,所以的最大值为2,当且仅当时有最大值,这时为正三角形。
略
20. 已知椭圆的右焦点为,且过点. 过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于、两点(点在轴上方),点关于坐标原点的对称点为,直线、分别交直线于、两点.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 当直线的斜率为时,求的值.
参考答案:
(1) 解:由, ………………………………………………………………(2分)
解得.
所以椭圆的方程为. ……………………………………………(4分)
(2) 解:直线的方程为. …………………………………………………(5分)
由 ,得或.
所以,,从而. …………………………(8分)
因而,直线的方程为,. …………………………(10分)
直线的方程为,. …………………………(12分)
. …………………………………………………………(14分)
21. 已知函数,,.
(1)求f(x)的最小值;
(2)关于x的方程有解,求a的取值范围.
参考答案:
(1)详见解析;(2).
【分析】
(1)令,则,化简函数得,利用二次函数的性质,即可求解.
(2)把方程有解,转化为方程在上有解,即,
利用的性质,即可求解.
【详解】(1)由题意,函数,
令,则在上单调递增,∴,
此时.
当时,;
当时,;
当时,,
所以函数的最小值为.
(2)方程有解,由(1)得方程在上有解,
而,即.
又因为在上单调递减,上单调递增,
∴当时,,当且仅当时,等号成立,
又由函数为奇函数,∴当时,.
∴的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了与二次函数复合的函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记指数函数的图象与性质,以及二次函数的图象与心智,合理转化是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
22. (1)已知中至少有一个小于2.
(2)已知a>0,﹣>1,求证:>.
参考答案:
【考点】R6:不等式的证明.
【分析】(1)使用反证法证明;
(2)使用分析法证明.
【解答】证明:(1)假设都不小于2,
则,
∵a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b,
两式相加得:2+a+b≥2(a+b),解得 a+b≤2,
这与已知a+b>2矛盾,
故假设不成立,
∴中至少有一个小于2.
(2)∵﹣>1,a>0,∴0<b<1,
要证>,只需证?>1,
只需证1+a﹣b﹣ab>1,只需证a﹣b﹣ab>0,即>1.
即﹣>1.这是已知条件,
所以原不等式成立.
【点评】本题考查了不等式的证明,属于中档题.