2021-2022学年浙江省台州市宁溪中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 市一中早上8点开始上课，若举小青与小明均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的.则小青比小明至少早5分钟到校的概率为（    ） A.     B.     C.     D. 参考答案： A 考点：几何概型． 【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）． 2. 已知 ，满足，，则在区间上的最大值与最小值之和为    A．         B．          C．          D． 参考答案： A 略 3. 已知集合，，则中所含元素的个数为(      ) A．2 B．3 C．4 D．6 参考答案： B 略 4. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在点P，使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1≠0，则该曲线的离心率e的取值范围是（　　） A．（1，） B． C． D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析；不防设点P（x，y）在右支曲线上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得，进而根据双曲线定义表示出|PF1|和|PF2|代入，可求得e的范围． 解：不妨设P（x，y）在右支曲线上，此时x≥a， 由正弦定理得，所以=， ∵双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex，|PF2|=ex﹣a， ∴=?x=＞a， 分子分母同时除以a，得：＞a， ∴＞1解得1＜e＜+1， 故答案为：D． 【点评】本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题能力． 5. 已知为常数，函数有两个极值点，则(　　) A. B. C. D. 参考答案： D 略 6. 已知（3+i）?z=﹣2i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： C 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】首先表示出复数z，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的标准形式，写出点的坐标，根据点的坐标的符号，看出点所在的象限． 【解答】解：∵ ∴z==， ∴对应的点的坐标是（﹣） ∴对应的点在第三象限， 故选C． 7. 曲线在点处的切线方程是（   ） A．                        B． C．                            D． 参考答案： D 因为 ，所以曲线上点的坐标为(0,－1) 因为 ，所以 所以切线方程为 ，即 所以选D   8. 函数，给出下列四个命题，其中命题正确的有：（  ） ①函数在区间上是减函数；②直线是函数的图象的一条对称轴；③函数的图象可以由函数的图象向左平移而得到。 A．①③    B．①②    C．②③    D．①②③ 参考答案： B 9. 5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ） （A）       （B）           （C）           （D） 参考答案： A 10. 已知集合，则等于  （   ）   A.      B.     C.       D.   参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是            ． 参考答案： 48 略 12. 已知，则函数的零点的个数为_______个. 参考答案： 5 13. （几何证明选讲选做题）如图2，⊙的两条割线与⊙交于、、、，圆心在上，若，，，则    ． 参考答案： 【知识点】与圆有关的比例线段．N1 16  解析：设圆半径为r， ∵⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上， ∴PC?PD=PA?PB，∵PC=6，CD=7，PO=12， ∴6（6+）=（12﹣r）（12+r），解得r=8，∴AB=2r=16．故答案为：16． 【思路点拨】由切割线定理得PC?PD=PA?PB，设圆半径为r，则6（6+）=（12﹣r）（12+r），由此能求出AB的长． 14. 函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“弯曲度”，给出以下命题： ①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点，是抛物线上不同的两点，则； ④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是． 其中真命题的序号为          （将所有真命题的序号都填上） 参考答案： ②③ 15. 研究问题：“已知关于x的不等式ax2 –bx+c＞0，解集为（1，2），解关于x的不等式cx2 –bx+ a＞0”有如下解法： 解：由cx2 –bx+ a＞0且x≠0，所以（cx2 –bx+ a）/ x2＞0得a（1/ x）2 –b/x+c＞0，设1/x= y 得ay 2 –b y +c＞0，由已知得：1＜y＜2，即1＜1/x＜2，∴1/2＜x＜1所以不等式cx2 –bx+ a＞0的解集是（1/2，1）。 参考上述解法，解决如下问题：已知关于x的不等式b/（x+a）+（x+c）/（x+ d）＜0的解集是：（-3，-1）∪（2，4），则不等式b x /（a x-1）+（cx-1）/（d x-1）＜0的解集是___________.      参考答案： 略 16. 将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m列从下到上第n行的数记为A（m，n），如A（3，1）=4，A（4，2）=12，则A（1，n）=　　；A（10，10）=　　． 参考答案： ，181。 考点： 归纳推理． 专题： 计算题；推理和证明． 分析： 由题意，A（1，n）=1+2+…+n=，再求出A（1，10），即可求出A（10，10）． 解答： 解：由题意，A（1，n）=1+2+…+n=， ∴A（1，10）==55， ∴A（10，10）=55+10+11+…+18=181， 故答案为：，181． 点评： 本题考查推理知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 17. 在等差数列中，，，则          ，设，则数列的前项的和            . 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某学校为了了解在校同学们对学校某一政策的看法，学校进行了调查，同时选三个班，同学们的看法情况如下： 对学校的看法 非常好，奠定了 我一生成长的起点 很好，我的中学很快乐很充实 A班人数比例 B班人数比例 C班人数比例 （1）从这三个班中各选一个同学，求恰好有2人认为学校“非常好”的概率（用比例作为相应概率）； （2）若在B班按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为学校“非常好”的人数记为，求的分布列和数学期望. 参考答案： （1）.（5分） （2）在B班按照相应比例选取9人，则认为一中“非常好”的应该选取6人，认为一中“很好”的应选取3人，则， 且；； ；. 则的分布列为： 0 1 2 3 则的期望值为：（人）.（12分） 19. （本小题满分12分） 已知函数 (Ⅰ)若时，函数在其定义域上是增函数，求b的取值范围；     (Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设函数的最小值；     (Ⅲ)设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.   参考答案： 解：（Ⅰ）依题意： ∵上是增函数， ∴  对任意恒成立，         ……………………2分 ∴∵ ∴b的取值范围为……………3分 （Ⅱ）设，即 …5分 ∴当上为增函数，当t=1时，…4分 当…………7分 当上为减函数，当t=2时，……6分 综上所述， …………9分 （Ⅲ）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为 C1在M处的切线斜率为  C-2-在点N处的切线斜率 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则 即 则  ，…………10分 设…………………………① 令则 ∵      ∴      所以上单调递增，故 ，  则 这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.……12分   20. 定义函数． (1)令函数的图象为曲线求与直线垂直的曲线的切线方程； (2)令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线 在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围； (3)当，且时，证明． 参考答案： 解：（1）， 由，得． 又，由，得 ，．又，切点为． 存在与直线垂直的切线，其方程为，即  （2）． 由，得．                       由，得． 在上有解． 在上有解得在上有解，． 而， 当且仅当时取等号， ． （3）证明： ． 令，则， 当时，∵，∴，单调递减， 当时，． 又当时，， 当．且时，，即． 21. （本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程    在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为(为参数，)，    (Ⅰ) 求C1的直角坐标方程；    (Ⅱ) 当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围. 参考答案： 解：(Ⅰ)曲线的极坐标方程为,   即，   ∴曲线的直角坐标方程为.       (Ⅱ)曲线的直角坐标方程为,为半圆弧， 如下图所示，曲线为一组平行于直线的直线， 当直线与相切时，由得， 舍去，则， 当直线过点、两点时，， ∴由图可知，当时，曲线与曲线有两 个公共点. 22.  （12分） 如图，直三棱柱中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，   AC＝2a，＝3a，D为的中点，E为的中点．   　　（1）求直线BE与所成的角； 　　（2）在线段上是否存在点F，使CF⊥平面，若存在，求出；若不存在，说明理由．   　　 参考答案： 解析：（1）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．   　　∵　AC＝2a，∠ABC＝90°， 　　∴　． 　　∴　B（0，0，0），C（0，，0），A（，0，0）， 　　（，0，3a），（0，，3a），（0，0，3a）． 　　∴　，，，，，， 　　∴　，，，，，． 　　∴　，，　∴　，   　　∴　．　故BE与所成的角为． 　　（2）假设存在点F，要使CF⊥平面，只要且． 　　不妨设AF＝b，则F（，0，b），，，，，0，，，，，　∵　，　∴　恒成立． 　　或， 故当或2a时，平面．