2021-2022学年江西省九江市第十中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内,若是目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无数个,则a的值等于
A. B.1 C.6 D.3
参考答案:
B
将z=ax+y化为斜截式y=-ax+z(a>0),则当直线在y轴上截距最大时,z最大.
∵最优解有无数个,∴当直线与AC重合时符合题意.又kAC=-1,
∴-a=-1,a=1.
2. 在中,若,则是 ( )
A.有一内角为的直角三角形 B.等腰直角三角形
C.有一内角为的等腰三角形 D.等边三角形
参考答案:
B
3. 已知数列满足,,则
2
参考答案:
B
4. 如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
由三视图可知所求几何体体积。
5. 函数的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析:令,则,对称轴,
是函数的递增区间,当时;
6. 对变量x,y观测数据(x1,y1)(i=1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v有观测数据(u1,v1)(i=1,2,…,10),得散点图2.由这两个散点图可以判断.( )
A.变量x与y正相关,u与v正相关
B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关
参考答案:
C
略
7. 定义在上的偶函数满足:对任意的,有,则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
8. 平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )
A、3x+2y-11=0 B、(x-1)2+(y-2)2=5
C、2x-y=0 D、x+2y-5=0
参考答案:
D
略
9. 如图所示,为了测量某湖泊两侧间的距离,李宁同学首先选定了与不共线的一点,然后给出了三种测量方案:(的角所对的边分别记为):① 测量 ② 测量 ③测量 则一定能确定间距离的所有方案的个数为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
A
略
10. 已知向量,满足||=||=1, ?=﹣,则|+2|=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】运用好∴|+2|2=(+2)2,运用完全平方公式展开,代入求解即可.
【解答】解:∵||=||=1, ?=﹣,
∴|+2|2=(+2)2=2+42+4?=5﹣2=3,
∴|+2|=,
故选:A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 利用更相减损之术求1230与411的最大公约数时,第三次做差所得差值为________。
参考答案:
3
12. 等差数列{an}中,a1=2,公差不为零,且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于 .
参考答案:
4
【考点】8G:等比数列的性质.
【分析】设a1,a3,a11成等比,公比为q,则可用q分别表示a3和a11,代入a11=a1+5(a3﹣a1)中进而求得q.
【解答】解:设a1,a3,a11成等比,公比为q,则a3=a1?q=2q,a11=a1?q2=2q2.
又{an}是等差数列,∴a11=a1+5(a3﹣a1),∴q=4.
故答案为4
13. 函数的值域是 ▲ ;
参考答案:
14. 已知R,则下列四个结论:
①的最小值为.
②对任意两实数,都有.
③不等式的解集是.
④若恒成立,则实数能取的最大整数是.
基中正确的是 (多填、少填、错填均得零分)..
参考答案:
①②④
15. 盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm,两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中,若取出这两个小球,则水面将下降________ cm.
参考答案:
16. 已知为锐角的边上一点,,,则的最小值为___________.
参考答案:
17. 函数的定义域
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明其结论;
(2)求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值.
参考答案:
(1)证明见解析;(2)最大值为;小值为
【详解】试题分析:(1)利用单调性的定义,任取,且,比较和0即可得单调性;
(2)由函数的单调性即可得函数最值.
试题解析:
(1)解:在区间上是增函数.
证明如下:
任取,且,
.
∵,
∴,即.
∴函数在区间上是增函数.
(2)由(1)知函数在区间上是增函数,
故函数在区间上的最大值为,
最小值为.
点睛: 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤:(1)取值:在定义域上任取,并且(或);(2)作差: ,并将此式变形(要注意变形到能判断整个式子符号为止);(3)定号:和0比较;
(4)下结论.
19. (10分)(1)已知 , 求的值
(2)求值
参考答案:
(1)8;(2).
20. (本小题满分14分)
已知,.
(1)求的值; (2)求的值.
参考答案:
解: (1)由,,得,
所以,……………………………………………………………4分
. ……………………………………………………………6分
(2)由,…………………………………………8分
又,所以,因此,……………………………10分
,………………………………………………………………………………12分
.………………………………14分
21. 如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为AB,DA上动点,且△APQ的周长为2,设 AP=x,AQ=y.
(1)求x,y之间的函数关系式y=f(x);
(2)判断∠PCQ的大小是否为定值?并说明理由;
(3)设△PCQ的面积分别为S,求S的最小值.
参考答案:
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】综合题;方程思想;综合法;函数的性质及应用;不等式.
【分析】(1)由已知可得PQ=2﹣x﹣y,根据勾股定理有(2﹣x﹣y)2=x2+y2,即可求x,y之间的函数关系式y=f(x);
(2)求得∴∠DCQ+∠BCP=,即可判断∠PCQ的大小;
(3)表示△PCQ的面积,利用基本不等式求S的最小值.
【解答】解:(1)由已知可得PQ=2﹣x﹣y,根据勾股定理有(2﹣x﹣y)2=x2+y2,…
化简得:y=(0<x<1)…
(2)tan∠DCQ=1﹣y,tan∠BCP=1﹣x,…
tan(∠DCQ+∠BCP)==1 …
∵∠DCQ+∠BCP∈(0,),
∴∠DCQ+∠BCP=,
∴∠PCQ=﹣(∠DCQ+∠BCP)=,(定值) …
(3)S=1﹣﹣(1﹣x)﹣(1﹣y)=(x+y﹣xy)=? …
令t=2﹣x,t∈(1,2),
∴S=?(t+)﹣1,
∴t=时,S的最小值为﹣1. …
【点评】本题考查三角函数知识,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
22. 已知关于x的不等式的解集为.
(1)求a、b的值;
(2)求函数的最小值.
参考答案:
(1);(2)12.
【分析】
(1)利用根与系数的关系,得到等式和不等式,最后求出的值;
(2)化简函数的解析式,利用基本不等式可以求出函数的最小值.
【详解】解:(1)由题意知:,解得.
(2)由(1)知,
∴,
而时,
当且仅当,即时取等号
而,∴的最小值为12.
【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题,考查了基本不等式的应用,考查了数学运算能力.