2021-2022学年江西省九江市瑞昌横立山中学高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 已知双曲线的一个焦点恰为抛物线的焦点,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
抛物线的焦点为,由题意得,解得,又
.故双曲线的标准方程为.
3. 在一个袋子中装有分别标注数字1, 2, 3, 4, 5的五个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 下面是关于复数的四个命题:其中正确的命题是 ( )
①; ②; ③; ④ 的虚部为-1.
A. ②③ B. ①② C. ②④ D. ③④
参考答案:
C
5. 函数 的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
D
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】分类,当x>0时,令f(x)=0,解得:x=1,当x≤0时,令f(x)=0,解得:x=0,x=﹣2,可知函数f(x)有三个零点.
【解答】解:当x>0时,令f(x)=0,解得:x=1,
当x≤0时,令f(x)=0,解得:x=0,x=﹣2,
∴函数f(x)有三个零点,
故选D.
【点评】本题考查函数零点的判定,考查计算能力,属于基础题.
6. 函数的最小值及取得最小值时x的值分别是()
A. 1, B. 3,0 C. 3, D. 2,
参考答案:
C
【分析】
利用绝对值不等式,求得函数的最小值,并求得对应的值.
【详解】依题意,当且仅当,即时等号成立,故选C.
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式,以及绝对值不等式等号成立的条件,属于基础题.
7. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足.f (x) > 0, .f (x + 2)=对任意xR恒.成立.则 f (2011)等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
8. “a=2”是“直线x+y=0与直线2x﹣ay=0互相垂直”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】简易逻辑.
【分析】若直线垂直,斜率之积是﹣1,求出a的值,再结合充分必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:由直线x+y=0与直线2x﹣ay=0互相垂直,
得:(﹣1)?=﹣1,解得:a=2,
∴“a=2”是“直线x+y=0与直线2x﹣ay=0互相垂直”的充要条件,
故选:C.
【点评】本题考察了直线互相垂直的性质,考察充分必要条件,是一道基础题.
9. 函数是定义在R上的增函数,且函数满足,若任意的恒成立,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 从1,2,3,4,5,6这6个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,则十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】选求出基本事件总数,再求出十位数字比个位数字和百位数字都大包含的基本事件个数,由此能求出十位数字比个位数字和百位数字都大的概率.
【解答】解:从1,2,3,4,5,6这6个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,
基本事件总数n==120,
十位数字比个位数字和百位数字都大包含的基本事件个数m==40,
∴十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为p==.
故选:C.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数满足,当时,,若在区间内,函数有三个不同零点,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
12. 已知存在实数a,满足对任意的实数b,直线y=-x+b都不是曲线的切线,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
略
13. 设 ,则 的最小值是__________.
参考答案:
14. 已知点为抛物线的焦点,为原点,点是抛物线准线上一动点,在抛物线上,且=4.则+的最小值是 .
参考答案:
15. 右图给出的是计算的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是 。
参考答案:
略
16. 已知函数f(x)=,若a、b、c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是 .
参考答案:
(25,34)
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象.
【专题】数形结合.
【分析】画出函数的图象,根据f(a)=f(b)=f(c),不妨设a<b<c,求出a+b+c的范围即可.
【解答】解:作出函数f(x)的图象如图,
不妨设a<b<c,则:b+c=2×12=24,
a∈(1,10)
则a+b+c=24+a∈(25,34),
故答案为:(25,34).
【点评】本题主要考查分段函数、函数的图象以及利用数形结合解决问题的能力.
17. 对于函数,若存在常数,使得取定义域内的每一个值,都有,则称为准奇函数.给定下列函数:
① ②
③ ④
其中所有准奇函数的序号是__________.
参考答案:
①④
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;
(2)已知A(﹣2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(1)圆C的参数方程为,通过三角函数的平方关系式消去参数θ,得到普通方程.通过x=ρcosθ,y=ρsinθ,得到圆C的极坐标方程.
(2)求出点M(x,y)到直线AB:x﹣y+2=0的距离,表示出△ABM的面积,通过两角和的正弦函数,结合绝对值的几何意义,求解△ABM面积的最大值.
【解答】解:(1)圆C的参数方程为(θ为参数)
所以普通方程为(x﹣3)2+(y+4)2=4.,
x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得(ρcosθ﹣3)2+(ρsinθ+4)2=4,
化简可得圆C的极坐标方程:ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0.
(2)点M(x,y)到直线AB:x﹣y+2=0的距离为
△ABM的面积
所以△ABM面积的最大值为
19. 如图,椭圆C1: +y2=1,x轴被曲线C2:y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长.
(1)求实数b的值;
(2)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B,直线MA、MB分别与C1相交于D、E.
①证明: ?=0;
②记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2.若=λ,求λ的取值范围.
参考答案:
【考点】圆锥曲线的综合.
【分析】(1)确定半长轴为2,利用x轴被曲线C2:y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长,可求b的值;
(2)①设直线的方程与抛物线方程联立,利用点M的坐标为(0,﹣1),可得kMAkMB=﹣1,从而得证;
②设直线的斜率为k1,则直线的方程为y=k1x﹣1,代入抛物线方程可得x2=k1x,从而可得点A的坐标、点B的坐标,进而可得S1,同理可得S2,进而可得比值,由此可得λ的取值范围.
【解答】(1)解:由题意知:半长轴为2,则有2=2 …(3分)
∴b=1 …(4分)
(2)①证明:由题意知,直线l的斜率存在,设为k,则直线的方程为y=kx.
与抛物线方程联立,消去y可得x2﹣kx﹣1=0,…(6分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=k,x1x2=﹣1.…(7分)
又点M的坐标为(0,﹣1),所以kMAkMB=×==﹣1…(9分)
故MA⊥MB,即MD⊥ME,故 …(10分)
②设直线的斜率为k1,则直线的方程为y=k1x﹣1,代入抛物线方程可得x2=k1x,解得x=0或x=k1,则点A的坐标为(k1,) …(12分)
同理可得点B的坐标为.
于是==
直线的方程为y=k1x﹣1,代入椭圆方程,消去y,可得()x2﹣8k1x=0,解得x=0或x=,则点D的坐标为; …(14分)
同理可得点E的坐标
于是S2==
因此,…(16分)
又由点A,B的坐标可知,k==,平方后代入上式,
所以λ=
故λ的取值范围为[). …(18分)
【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与抛物线、椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,属于中档题.
20. 已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)>0,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域;
(2)c为何值时,ax2+bx+c≤0的解集为R?
参考答案:
由题意知f(x)的图像是开口向下,交x轴于两点A(-3,0)和B(2,0)的抛物线,对称轴方程为x=-(如图).
那么,当x=-3和x=2时,
有y=0,代入原式得
解得或
经检验知不符合题意,舍去.
∴f(x)=-3x2-3x+18.
(1)由图像知,函数在[0,1]内单调递减,
所以,当x=0时,y=18,当x=1时,y=12.
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].
(2)令g(x)=-3x2+5x+c,
要使g(x)≤0的解集为R.
则需要方程-3x2+5x+c=0的判别式Δ≤0,
即Δ=25+12c≤0,解得c≤-.
∴当c≤-时,ax2+bx+c≤0的解集为R.
21. 写出用二分法求方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]上的一个解的算法(误差不超过0.001),并画出相应的程序框图及程序.
参考答案:
用二分法求方程的近似值一般取区间[a,b]具有以下特征:
f(a)<0,f(b)>0. 由于f(1)=13-1-1=-1<0,
f(1.5)=1.53-1.5-1=0.875>0,
所以取[1,1.5]中点=1.25研究,以下同求x2-2=0的根的方法.
相应的程序框图是:
程序:a=1
b=1.5
c=0.001
DO
x=(a+b)2
f(a)=a∧3-a-1
f(x)=x∧3-x-1
IF f(x)=0 THEN
PRINT “x=”;x
ELSE
IF f(a)*f(x)<0 THEN
b=x
ELSE
a=x
END IF
END IF
LOOP UNTIL ABS(a-b)<=c
PRINT “方程的一个近似解x=”;x
END
22. (12分)如图,在平面四边形ABCD中,已知∠A=,∠B=,AB=6,在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED