2021-2022学年江苏省扬州市北洲中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则函数的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
2. 已知向量=(x﹣1,2),=(y,﹣4),若∥,则4x+2y的最小值为( )
A.4 B.2 C.2 D.
参考答案:
A
【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】利用向量共线定理及∥,可得x,y的关系式,再利用基本不等式即可得出
【解答】解:∵=(x﹣1,2),=(y,﹣4),∥,
∴﹣4(x﹣1)=2y,
∴2x+y=2,
∴2=2x+y,
∴4x+2y≥2=2=2=4,当且仅当x=,y=1时取等号,
∴则4x+2y的最小值为4,
故选:A.
3. 对于平面和直线,命题若则;命题若则. 则下列命题为真命题的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
由题意得,在空间中若,则是正确的,所以命题p为真命题,所以为假命题, 而若,则直线a,b相交、平行或异面,所以命题q为假命题,所以为真命题, 所以为真命题,故选C.
4. 已知集合,A∩B=( )
A. B.(-1,2) C. (2,3) D.(2,4)
参考答案:
C
求解二次不等式可得:,
结合交集的定义可得:.
表示为集合的形式即.
本题选择C选项.
5. 在如右程序框图中,已知:,则输出的是 ( )
A. B.
C. D.、
参考答案:
B
略
6. 已知角θ的终边过点P(﹣4k,3k) (k<0),则2sinθ+cosθ的值是( )
A. B.﹣
C.或﹣ D.随着k的取值不同其值不同
参考答案:
B
考点:终边相同的角;任意角的三角函数的定义.
专题:计算题.
分析:根据角的终边所过的一个点,写出这点到原点的距离,注意字母的符号,根据三角函数的定义,写出角的正弦和余弦值,代入要求的算式得到结果即可.
解答: 解:∵角θ的终边过点P(﹣4k,3k),(k<0),
∴r==5|k|=﹣5k,
∴sinθ==﹣,
cosθ==,
∴2sinθ+cosθ=2(﹣)+=﹣
故选B.
点评:本题是一个对于任意角的三角函数的定义的考查,解题时若没有字母系数的符合,我们就得讨论两种情况,在两种情况下,分别做出角的三角函数值,再进行运算.
7. 为虚数单位,复数的虚部是
A. B. C. D .
参考答案:
8. 设a=log0.80.9,b=log1.10.9,c=1.10.9,则a,b,c的大小关系是( )
A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c
参考答案:
A
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
【解答】解:a=log0.80.9∈(0,1),b=log1.10.9<0,c=1.10.9>1,
∴c>a>b.
故选:A.
9. 函数的定义域为( )
A.
(1,+∞)
B.
[0,+∞)
C.
(﹣∞,1)∪(1,+∞)
D.
[0,1)∪(1,+∞)
参考答案:
D
考点:
函数的定义域及其求法.343780
专题:
计算题.
分析:
利用分式的分母不为0,开偶次方被开方数非负,求出函数的定义域.
解答:
解:要使函数有意义,必须,解得x≥0且x≠1.
所以函数的定义域为[0,1)∪(1,+∞).
故选D.
点评:
本题考查函数的定义域的求法,容易疏忽被开方数非负这一结论.
10. 某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这3个变量之间的关系,随机抽查了100名学生,得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3,根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中( )
A. 语文成绩与性别有关联性的可能性最大,数学成绩与性别有关联性的可能性最小
B. 数学成绩与性别有关联性的可能性最大,语文成绩与性别有关联性的可能性最小
C. 英语成绩与性别有关联性的可能性最大,语文成绩与性别有关联性的可能性最小
D. 英语成绩与性别有关联性的可能性最大,数学成绩与性别有关联性的可能性最小
参考答案:
C
【分析】
根据题目所给的列联表,计算的观测值,得出统计结论。
【详解】因为,所以英语成绩与性别有关联性的可能性最大,语文成绩与性别有关联性的可能性最小.故选C。
【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想及其应用,意在考查学生的数据分析和处理能力。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点满足则点构成的图形的面积为 .
参考答案:
2
略
12. 已知三角形的一边长为4,所对角为60°,则另两边长之积的最大值等于 。
参考答案:
16
设另两边为,则由余弦定理可知,即,又,所以,当且仅当时取等号,所以最大值为16。
13. 曲线在点处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________;
参考答案:
解析:
14. 在平面直角坐标系中,点是坐标原点,已知直线与轴分别相交于A,B点,若点是区域内(包括边界上)的一点,则点到三边的距离和的取值范围是________.
参考答案:
略
15. 已知变量满足约束条件则的最大值是_________.
参考答案:
略
16. 设的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M+N=16,则展开式中的常数项为 .
参考答案:
略
17. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是________.
参考答案:
甲
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分l2分) 已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值.
参考答案:
∵sin α=-3cos α.
又sin2α+cos2α=1,得(-3cos α)2+cos2α=1,
即10cos2α=1.∴cos α=±.
又由sin α=-3cos α,可知sin α与cos α异号,
∴α在第二、四象限.
①当α是第二象限角时,sin α=,cos α=-.
②当α是第四象限角时,sin α=-,cos α=.
19. 如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,AB ??AC,点E,F分别在棱BB1 ,CC1上(均异
于端点),且∠ABE?∠ACF,AE⊥BB1,AF⊥CC1.
求证:(1)平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)BC // 平面AEF.
参考答案:
证明:(1)在三棱柱ABC?A1B1C1中,BB1 // CC1.
因为AF⊥CC1,所以AF⊥BB1. …… 2分
又AE⊥BB1,AEAF,AE,AF平面AEF,
所以BB1⊥平面AEF. …… 5分
又因为BB1平面BB1C1C,所以平面AEF⊥平面BB1C1C. …… 7分
(2)因为AE⊥BB1,AF⊥CC1,∠ABE ?∠ACF,AB ??AC,
所以△AEB ≌△AFC.
所以BE ? CF. …… 9分
又由(1)知,BE ???CF.
所以四边形BEFC是平行四边形.
从而BC ?? EF. …… 11分
又BC平面AEF,EF平面AEF,
所以BC // 平面AEF. …… 14分
20. 已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
(1)求f(x)与g(x)的解析式;
(2)若F(x)=g(x)﹣λf(x)在[﹣1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
参考答案:
考点: 函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究函数的单调性.
专题: 计算题.
分析: (1)将点的坐标代入函数解析式得到一个方程;利用函数满足的等式得到函数的对称轴,据二次函数的对称轴公式列出方程求出m,n;求出f(x)的解析式;利用相关点法求出g(x)的解析式.
(2)利用函数在区间上单调,则导函数大于等于0恒成立,列出恒成立的不等式,分离参数,转化成求函数的最值
解答: 解:(1)由题意知:1+m+n=3对称轴为x=﹣1故
解得m=2,n=0,
∴f(x)=x2+2x,
设函数y=f(x)图象上的任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),
则x0=﹣x,y0=﹣y,因为点Q(x0,y0)在y=f(x)的图象上,
∴﹣y=x2﹣2x,
∴y=﹣x2+2x,
∴g(x)=﹣x2+2x.
(2)F(x)=﹣x2+2x﹣λ(x2+2x)=﹣(1+λ)x2+2(1﹣λ)x
∵F(x)在(﹣1,1]上是增函数且连续,F'(x)=﹣2(1+λ)x+2(1﹣λ)≥0
即在(﹣1,1]上恒成立,
由在(﹣1,1]上为减函数,
当x=1时取最小值0,故λ≤0,所求λ的取值范围是(﹣∞,0],
点评: 本题考查求函数解析式的方法:待定系数法、直接法、函数单调求参数的范围、解决不等式恒成立.
21. 已知,集合,,.
(1)若,求;
(2)命题,命题,若是的必要条件,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1),
由得,即,
所以,所以.
(2)因为是的必要条件,所以,所以,
因为,所以,
所以,解得.
略
22. 设f(x)=|x﹣3|+|x﹣4|.
(1)解不等式f(x)≤2;
(2)若存在实数x满足f(x)≤ax﹣1,试求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(1)化简绝对值不等式,通过两个函数的图象求出不等式的解集.
(2)利用(1)的图象直接求出满足f(x)≤ax﹣1实数a的取值范围即可.
【解答】解(1),
由图象可得f(x)≤2的解集为﹣
(2)函数y=ax﹣1,的图象是经过点(0,﹣1)的直线,
由图象可得﹣﹣﹣﹣﹣