2021-2022学年河北省唐山市友谊中学分校高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若变量满足约束条件, （　　） A． B． C． D． 参考答案： C 略 2. 设，，则 A．　　　　　B．        C．　D． 参考答案： A　 由得或　∴。 3. 已知函数在区间(－2,－1)内存在单调递减区间，实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据题意求出函数的导数，问题转化为，根据不等式的性质求出a的范围即可． 【详解】， 由题意得， 使得不等式成立， 即时，， 令，， 则， 令，解得：， 令，解得：， 故在递增，在递减， 故， 故满足条件a的范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题． 4. 某公园有一个露天剧场，其场地呈正六边形，如图所示，若阴影部分可以放200个座位，则整个场地估计可以坐（   ）个观众 A．400 B．500 C．550 D．600 参考答案： D 设整个场地估计可以坐个观众，由题意及随机模拟的方法可得 ，解得。即整个场地估计可以坐个观众。选D。   5. 下列各进制中，最大的值是（     ） .         .    .     .  参考答案： D 6. 当时，下列函数中最小值为2的是(    ) A.             B.  　 C.                   D. 参考答案： C 7. 在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】确定直线位置的几何要素． 【专题】数形结合． 【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果． 【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D， 由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上； 若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上； 故选C． 【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定． 8. 下列命题中为真命题的是（　　） A．命题“若∥且∥，则∥” B．命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题 C．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题 D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题 参考答案： C 【考点】四种命题． 【分析】根据向量平行判断A，写出命题的逆命题．即可判断B，写出命题的否命题，即可判断C，根据原命题和逆否命题为等价命题判断D 【解答】解：对于A：零向量和和非零向量都平行，故若∥且∥，则∥”为假命题， 对于B：命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题为“若x＞0，则x＞2015”显然为假命题， 对于C：命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“则若xy≠0，则x≠0且y≠0”为真命题， 对于D：命题“若x2≥1，则x≥1”为假命题，则逆否命题也为假命题， 故选：C 【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础． 9. 下列命题中为真命题的是（   ）     A．平行于同一条直线的两个平面平行     B．垂直于同一条直线的两个平面平行     C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．     D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行． 参考答案： B 10. 已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的(    ) A、合格产品少于9件           B、合格产品多于9件 C、合格产品正好是9件         D、合格产品可能是9件 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知二项分布ξ～，则该分布列的方差D值为_________.； 参考答案： 1 略 12. 函数的最小值是            参考答案： 0 13. 已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+6y+12=0，则|2x﹣y﹣2|的最小值是　　． 参考答案： 5﹣ 【考点】圆的一般方程． 【分析】把圆的方程先化为标准方程，用参数表示x与y代入所求的式子中，利用辅助角公式化简，即可求得结论． 【解答】解：x2+y2﹣4x+6y+12=0，可化为（x﹣2）2+（y+3）2=1， ∴可设x=2+cosα，y=﹣3+sinα， ∴|2x﹣y﹣2|=|2（2+cosα）﹣（﹣3+sinα）﹣2|=|5+2cosα﹣sinα|=|5+cos（α+β）| ∴|2x﹣y﹣2|的最小值是5﹣． 故答案为：5﹣． 14. 已知方程，有且仅有四个解，，，，则______． 参考答案： 由图可知 ,且 时, 与 只有一个交点,令 ,则由 ,再由,不难得到当 时 与 只有一个交点,即 ,因此 点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 15. 已知命题是真命题，则实数a的取值范围是        ． 参考答案： (－∞,1]     16. 已知某物体的运动路程S关于时间t的函数为，则该物体在时的速度为                                                              (       ) A.            B.           C.27          D. 参考答案： A 略 17. 若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=　　． 参考答案： i 【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算 【解答】解：设z=a+bi， 则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i， 即a﹣b+（a+b）i=1﹣i， 由， 解得a=0，b=﹣1， 所以z=﹣i， =i， 故答案为i． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）求实数λ的值． 参考答案： 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程； （II）运用向量共线的知识，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值． 解答： 解：（I）由条件可知，c=1，a=2， 故b2=a2﹣c2=3， 椭圆的标准方程是． （II）由，可知A，B，M三点共线， 设点A（x1，y1），点B（x2，y2）． 若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意． 当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）． 由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．① 由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0， 解得， ， 由，可得，即有． 将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0， 则x1=，x2=． 又因为，，， 所以， 所以λ=． 点评： 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题． 19. 已知直线，圆 （1）判断直线和圆的位置关系； （2）若直线和圆相交，求相交弦长最小时的值. 参考答案： 解：（1）直线， 即为， 则直线经过直线与的交点         而，所以点在圆的内部，所以直线和圆相交； （2）假设直线和圆相交于点，由相交弦长公式，其中为圆心到直线的距离，有公式可知， 当最大时，相交弦长最小，而由（1）知， 直线过定点,所以，即，又，所以， 20. 已知点是椭圆内的一点，点M为椭圆上的任意一点（除短轴端点外），O为原点。过此点A作直线与椭圆相交于C、D两点，且A点恰好为弦CD的中点。再把点M与短轴两端点B1、B2连接起来并延长，分别交x轴于P、Q两点。 （1）求弦CD的长度； （2）求证：为定值.         参考答案： 解:(1)|CD|=     (2) 略 21. (本小题满分12分) 直线是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B的坐标分别为，求点C的坐标，并判断△ABC形状. 参考答案： 解：点A关于直线对称点在BC所在直线上 令  ∴ ∴BC：………………………………………………………7分 由点 又∵      ∴△ABC为直角三角线 或      ∴ ∴△ABC为直角三角形   ………………………………………………………12分   22. 已知两圆， 求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。 参考答案： 解析：（1）①；②； ②①得：为公共弦所在直线的方程； （2）弦长的一半为，公共弦长为。