2021-2022学年河南省驻马店市东洪乡联合中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是(     ) A．（﹣4，2） B．（﹣4，1） C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合；不等式的解法及应用． 【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可． 【解答】解：由约束条件指出可行域为△ABC如图， 当a=0时，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值； 当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞kAC=﹣1，得a＜2； 当a＜0时，k=﹣＜kAB=2，得a＞﹣4． 综合得﹣4＜a＜2． 故选：A． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题． 2. 已知α∈(，)，sinα=，则tan(α+)等于 A．           B．-7          C．                D．7 参考答案： 答案:C 3. 已知双曲线右焦点为为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ ） A．         B．         C．         D． 参考答案： B 4. 若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的(     ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 参考答案： B 【考点】复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】一方面由a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a的取值范围，即可判断出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”； 另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可． 【解答】解：①∵a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”， ∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2． ∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1， 因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限； ②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确， 则，解得． ∴△＜0， ∴关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确． 综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件． 故选B． 【点评】熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键． 5. 已知要得到函数的图像，只需将函数的图像 （   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 参考答案： C 略 6. 已知是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时在，若在上有5个根，则的值为（    ） A．7               B．8               C．9               D．10 参考答案： D 7. 曲线与折线 围成的图形面积是                    . 参考答案： 8. 函数，若存在实数m，使得方程有三个相异实根，则实数a的范围是（    ） A. B. C.(－∞,2] D. 参考答案： D 【分析】 先考虑时的单调性，再就分类讨论求在上的最值，结合存在实数，使得方程有三个相异实根可得实数的取值范围. 【详解】当时，， 当时，，在为增函数， 当时，，在为减函数. 又， 因为存在实数，使得方程有三个相异实根， 所以当时，的最小值小于2，的最大值大于或等于1. 但当，时，，故，故； 而当，时，任意，总成立，舍去. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的零点，注意先研究不含参数的函数的单调性，再结合函数的零点的个数判断另一范围上函数的性质，本题属于难题. 9. 已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】阅读型；对应思想；分析法；数系的扩充和复数． 【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断． 【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0． ∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件． 故选：B． 【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题． 10. 若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 考点： 简单线性规划的应用．  专题： 数形结合． 分析： 先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可． 解答： 解：作出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点， ∴即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3． 故选C． 点评： 本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是        . 参考答案： 当时可以成立； 当时，开口向上，，              解得 当时，开口向下，             解得综合以上得： 12. 已知直线与平面区域C:的边界交于A，B两点，若，则的取值范围是________. 参考答案： 不等式对应的区域为，因为直线的斜率为1，由图象可知，要使，则，即的取值范围是。 13. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝3，BC＝2，   则棱锥O－ABCD的体积为________ 参考答案： 14. （几何证明选讲选做题）如右图，从圆O外一点P引圆O的割线PAB和PCD，PCD过圆心O，已知PA＝1，AB＝2，PO＝3，则圆O的半径等于＿＿＿＿ 参考答案： 试题分析：设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以. 考点：切割线定理. 15. 已知则          参考答案： 16. 在直角坐标系中，定义两点P（x1，yl），Q（x2，y2）之间的“直角距离 为d（P，Q）=．     现有以下命题： ①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）= ； ②已知两点P（2，3），Q（sin2）,则d（P，Q）为定值； ③原点O到直线x－y+l=0上任意一点P的直角距离d（O，P）的最小值为； ④若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥d（P，Q）； 其中为真命题的是           （写出所有真命题的序号）。 参考答案： ①②④ 17. 函数的单调递增区间是                参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D，E分别为AC1和BB1的中点． （Ⅰ）求证：DE∥平面ABC； （Ⅱ）若F为AB中点，求三棱锥F﹣C1DE的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连接BG和DG，推导出BEDG是平行四边形，从而DE∥BG，由此能求出DE∥平面ABC． （Ⅱ）三棱锥F﹣C1DE的体积： ==，由此能求出结果． 【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接BG和DG， 因为D和G分别为AC1和AC的中点，所以DG∥CC1，且DG=BE， 则BEDG是平行四边形，DE∥BG， 又DE不在平面ABC内，BG在平面ABC内， 所以DE∥平面ABC．…（6分） 解：（Ⅱ）因为D为AC1的中点，所以=， 又F为AB中点，所以=，…（8分） 则三棱锥F﹣C1DE的体积： ===．…（12分） 【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知. （Ⅰ）求角C的值； （Ⅱ）若，，求△ABC的面积. 参考答案： （I）；（II） 【分析】 （Ⅰ）由，利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得，结合角的范围可得结果；（Ⅱ）由余弦定理可得，求出的值，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）∵， ∴由正弦定理可得， ， 因为， ∴，∴. ∵，∴. （Ⅱ）∵，∴， ∵，∴， ∴. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形， ，为的中点. （Ⅰ）若，求证：平面平面； （Ⅱ）点在线段上，，若平面平面ABCD， 且，求二面角的大小. 参考答案：   略 21. 已知关于的不等式（）. （1）当时，求此不等式的解集； （2）若此不等式的解集为，求实数的取值范围． 参考答案： （1）当时,得, 即, 解得,  ∴不等式的解集为．  ………………………………………………5分 （2）∵ ∴原不等式解集为R等价于 ∴ ∵，∴  ∴实数的取值范围为． ………………………10分 22. （本小题满分12分）在△中,角,,对应的边分别是,,. 已知. (1)求角的大小； (2)若△的面积,,求的值. 参考答案：