2021-2022学年福建省泉州市东桥中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数在区间内没有最值,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
函数的单调区间为,令,
,解得,.若函数在区间内没有最值,则解得,
由,得,当时,,又因为,所以;当时, ,符合题意.故选.
2. 某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨,如果按照这样的年增长率计算,
则该钢厂2010年的年产量约为( )
A.60万吨 B.61万吨 C.63万吨 D.64万吨
参考答案:
C
略
3. 已知loga2,logb2∈R,则“2a>2b>2”是“loga2<logb2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】分别由2a>2b>2,得到a>b>1,由loga2<logb2,得到a>b,结合集合的包含关系判断即可.
【解答】解:由2a>2b>2,得:a>b>1,
得:loga2<logb2,是充分条件,
由loga2<logb2得:<,
即<,故a>b,
故”2a>2b>2”是“loga2<logb2”的充分不必要条件,
故选:A.
【点评】本题考查了充分必要条件,考查集合的包含关系以及指数函数、对数函数的性质,是一道基础题.
4. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y﹣4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 抛物线的应用.
专题: 计算题;压轴题.
分析: 先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据圆的方程求得圆心坐标,根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值,根据图象可知当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点F的距离减去圆的半径.
解答: 解:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y﹣4)2=1的圆心为C(0,4),
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,
进而推断出当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为:,
故选C.
点评: 本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.
5. 若关于方程有两个不相等的正实根,则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
6. 双曲线的离心率大于的充分不必要条件是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
7. 定义两种运算:,,则函数为( )
A、奇函数 B、偶函数 C、既奇且偶函数 D、非奇非偶函数
参考答案:
A
8. 已知集合,,则( )
A.{1,2} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}
参考答案:
C
9.
设是空间三条直线,是空间两个平面,则下列命题为假命题的是 ( )
A.当
B.当
C.当
D.当
参考答案:
答案:D
10. 在长为12cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm的概率为. ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若平面向量α、β 满足,且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为,则α和β的夹角 θ的取值范围是_________________________
参考答案:
题主要考查了平面向量的相关性质、三角函数值的求解、三角形的面积公式以及三角函数的图象与性质等,难度中等。由于S=|α||β|sinθ=|β|sinθ=,那么sinθ=≥,结合三角函数的图象与性质以及平面向量的夹角定义知θ∈[,],故填[,];
12. (x﹣)6的展开式中,含x5项的系数为_____.
参考答案:
15
【分析】
在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于5,求出r的值,即可求得含x5项的系数.
【详解】解:(x﹣)6的展开式中,它的展开式的通项公式为Tr+1=?(﹣1)r?,
令6﹣=5,求得r=2,可得含x5项的系数为=15,
故答案为:15.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质.
13. 已知,则 .
参考答案:
略
14. 在平行四边形ABCD中,已知,,,若,,则____________.
参考答案:
【分析】
设,则,得到,,利用向量的数量积的运算,即可求解.
【详解】由题意,如图所示,设,则,
又由,,所以为的中点,为的三等分点,
则,,
所以
.
【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的线性运算法则,以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
15. 设等比数列满足公比,,且数列中任意两项之积也是该数列的一项.若,则的所有可能取值之和为_______________.
参考答案:
22
16. (4分)(2011?西城区一模)阅读右侧程序框图,则输出的数据S为 _________ .
参考答案:
31
17. “若函数是奇函数,则的图象关于y轴对称”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题正确的个数是 。
参考答案:
1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在中,角所对的边分别为,且满足.
(1)求角A的大小;
(2)已知,的面积为1,求边.
参考答案:
解:(1)
由正弦定理得:
又0<B< ,
(2),,
得
由余弦定理得,
得
19. 在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数, ).在以 为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线 : .
(1)当 时,求 与 的交点的极坐标;
(2)直线 与曲线 交于 , 两点,且两点对应的参数 , 互为相反数,求 的值.
参考答案:
解法一:(Ⅰ)由,可得,
所以,即,
\当时,直线的参数方程(为参数),化为直角坐标方程为,
联立解得交点为或,
化为极坐标为,
(2)由已知直线恒过定点,又,由参数方程的几何意义知是线段的中
点,曲线是以为圆心,半径的圆,且,
由垂径定理知:.
解法二:(1)依题意可知,直线的极坐标方程为,
当时,联立 解得交点,
当时,经检验满足两方程,
当时,无交点;
综上,曲线与直线的点极坐标为,.
(2)把直线的参数方程代入曲线,得,
可知,,
所以.
20.
(15分)已知函数
(1)求的单调区间;
(2)对于给定的闭区间,试证明在(0,1)上必存在实数,使时,在
上是增函数;
(3)当时,记,若对于任意的总存在
时,使得成立,求的最小值.
参考答案:
解析:(1)解:……………2分
当
当
……………5分
(2)证明:,对于给定的闭区间,因为上连续,故在上有最小值,设其为于是当时,上恒成立,即上是增函数………9分
(3)由得,
“若对于任意的总存在时,使得成立”等价于.下面求的最大值.
当
即
令
……15分
21. (本小题满分12分)已知抛物线
(1) 当为何值时,抛物线与轴有两个交点?
(2)若关于的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求的取值范围;
(3) 如果抛物线与轴相交于A,B两点,与轴交于C点,且三角形ABC的面积等于2,试求的值。
参考答案:
解析:(1)由题意,须,得
所以的取值范围为{} …………………3分
(2)在(1)的条件下,,得
得取值范围为 …………………9分
(3)由
得 …………………12分
22. 如图,是直角三角形,,以为直径的圆交于点,点是边的中点,连接交圆于点.
(1)求证:、、、四点共圆;
(2)求证:
参考答案:
证明:(1)连接、,则
又是BC的中点,所以
又,
所以.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
所以
所以、、、四点共圆 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
(2)延长交圆于点
因为
.。。。。。。。。。。。7分
所以
所以 。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
略