2021年云南省昆明市天成学校高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在等腰△中,,,在角内部作射线交边于点,则线段的概率为( )
参考答案:
D
略
2. 把已知正整数表示为若干个正整数(至少3个,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为的一个等差分拆.将这些正整数的不同排列视为相同的分拆.如:(1,4,7)与(7,4,1)为12的相同等差分拆.问正整数36的不同等差分拆的个数是( ).
(A)20 (B)18 (C)19 (D)21
参考答案:
A
3. 设函数f(x)=(其中a∈R)的值域为S,若[1,+∞)?S,则a的取值范围是.
A.(﹣∞,) B.[1,]∪(,2] C.(﹣∞,)∪[1,2] D.(,+∞)
参考答案:
C
【考点】函数的值域.
【专题】综合题;分类讨论;函数思想;集合思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】对a=0,a>,a<0分类求出分段函数的值域S,结合[1,+∞)?S,由两集合端点值间的关系列不等式求得a的取值范围.
【解答】解:a=0,函数f(x)==,函数的值域为S=(0,+∞),满足[1,+∞)?S,
a>0,当x≥0时,f(x)=asinx+2∈[2﹣a,2+a];当x<0时,f(x)=x2+2a∈(2a,+∞).
若0,f(x)的值域为(2a,+∞),由[1,+∞)?S,得2a<1,∴0;
若,即,f(x)的值域为[2﹣a,+∞),由[1, +∞)?S,得2﹣a≤1,∴1≤a≤2;
若2+a<2a,即a>2,f(x)的值域为[2﹣a,2+a]∪(2a,+∞),由[1,+∞)?S,得2a<1,∴a∈?;
a<0,当x<0,f(x)=x2+2a>2a,此时一定有[1,+∞)?S.
综上,满足[1,+∞)?S的a的取值范围是(﹣∞,)∪[1,2].
故选:C.
【点评】本题考查函数的值域及其求法,体现了分类讨论的数学思想方法,考查了集合间的关系,是中档题.
4. 命题“若,则”的逆否命题是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
C
5. 曲线y=2sincos与直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为
P1、P2、P3、…,则|P2P4|等于 ( )
. . . .
参考答案:
B
6. 已知函数f(x)=g(x+1)﹣2x为定义在R上的奇函数,则g(0)+g(1)+g(2)=( )
A.
1
B.
C.
D.
3
参考答案:
C
略
7. 复数,是虚数单位,则的虚部是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。设函数,则
A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014
参考答案:
C
略
9. i是虚数单位,复数 =( ).
(A)0 (B)2
(C) -4i (D) 4i
参考答案:
D
10. 已知是自然对数的底数,函数的零点为,函数的零点为,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知全集为,且集合,,则 .
参考答案:
(-1,2)
12. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为220元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示:
销售单价(元)
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量(桶)
480
440
400
360
320
280
240
根据以上数据,这个经营部要使利润最大,销售单价应定为 元。
参考答案:
13. 已知正实数满足,则的最小值为 .
参考答案:
14. 已知集合,,
则_____________.
参考答案:
,,所以。
15. 如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,,已知,,则当最大时,三棱锥P-ABC的体积为__________.
参考答案:
4
设,则,,,
,当且仅当,即时,等号成立.
,
故答案为:4
16. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是
参考答案:
略
17. 由曲线y=x3与y=围成的封闭图形的面积是 .
参考答案:
【考点】定积分在求面积中的应用.
【分析】作出两个曲线的图象,求出它们的交点,由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0,1]上的定积分的值,再用定积分计算公式加以运算即可得.
【解答】解:如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象,则封闭图形的面积
.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆:交轴于、两点,曲线是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为,若是圆上一点,连结,过原点作直线的垂线交直线于点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若点的坐标为求证:直线与圆相切;
(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)因为,所以c=1,则b=1,
所以椭圆C的标准方程为 ………5分
(Ⅱ)∵P(1,1),∴,∴,∴直线OQ的方程为y=-2x, ∴点Q(-2,4)…7分
∴,又,∴,即OP⊥PQ,故直线PQ与圆O相切 ……10分
(Ⅲ)当点P在圆O上运动时,直线PQ与圆O保持相切 ………11分
证明:设(),则,所以,,
所以直线OQ的方程为 所以点Q(-2,) ………12分
所以,又 ……13分
所以,即OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆O相切. ………14分
19. 设函数f(x)=x2﹣(a﹣2)x﹣alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值;
(3)若方程f(x)=c有两个不相等的实数根x1,x2,求证:.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;不等式的证明.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(1)对a分类讨论,利用导数与函数单调性的关系即可得出;
(2)由(1)可得,若函数f(x)有两个零点,则a>0,且f(x)的最小值,即.可化为h(a)=.利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出;
(3))由x1,x2是方程f(x)=c得两个不等实数根,由(1)可知:a>0.不妨设0<x1<x2.则,.
两式相减得+alnx2=0,化为a=.由,当时,f′(x)<0,当时,f′(x)>0.故只要证明即可,即证明,令换元,再利用导数即可证明.
解:(1)x∈(0,+∞).
==.
当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞0上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
当a>0时,由f′(x)>0得;由f′(x)<0,解得.
所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由(1)可得,若函数f(x)有两个零点,则a>0,且f(x)的最小值,即.
∵a>0,∴.
令h(a)=a+﹣4,可知h(a)在(0,+∞)上为增函数,且h(2)=﹣2,h(3)==,
所以存在零点h(a0)=0,a0∈(2,3),
当a>a0时,h(a)>0;当0<a<a0时,h(a)<0.
所以满足条件的最小正整数a=3.
又当a=3时,f(3)=3(2﹣ln3)>0,f(1)=0,∴a=3时,f(x)由两个零点.
综上所述,满足条件的最小正整数a的值为3.
(3)∵x1,x2是方程f(x)=c得两个不等实数根,由(1)可知:a>0.
不妨设0<x1<x2.则,.
两式相减得+alnx2=0,
化为a=.
∵,当时,f′(x)<0,当时,f′(x)>0.
故只要证明即可,
即证明x1+x2>,即证明,
设,令g(t)=lnt﹣,则=.
∵1>t>0,∴g′(t)>0
.∴g(t)在(0,1)上是增函数,又在t=1处连续且g(1)=0,
∴当t∈(0,1)时,g(t)<0总成立.故命题得证.
【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值等基础知识,及其分类讨论思想方法、等价转化方法、换元法等基本技能与方法.
20. (本小题满分12分)已知函数().
⑴ 求的单调区间;
⑵ 如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;
(3)讨论关于的方程的实根情况.
参考答案:
(Ⅰ) ,定义域为,
则.
因为,由得, 由得,
所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为.……….3分
(Ⅱ)由题意,以为切点的切线的斜率满足
,
所以对恒成立.
又当时, ,
所以的最小值为. ………………….6分
(Ⅲ)由题意,方程化简得
+
令,则.
当时, ,
当时, ,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
所以在处取得极大值即最大值,最大值为.
所以 当, 即时, 的图象与轴恰有两个交点,
方程有两个实根,
当时, 的图象与轴恰有一个交点,
方程有一个实根,
当时, 的图象与轴无交点,
方程无实根. ………………….12分
21. (本小题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:求数列{bn}的通项公式;
(3)令 (n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1)当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,知a1=2满足该式
∴数列{an}的通项公式为an=2n.
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n)
令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,①
则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②
①-②得,-2Hn=3+32+33+…+3n-n×3n+1=-n×3n+1
∴Hn=。
∴数列{cn}的前n项和Tn=+.
22. 设的内角、、的对边分别为、、,且满足.
(1)求角的大小;
(2)若,求面积的最大值.
参考答案:
(2)∵,.
∴
∴,当且仅当时取“=” .
∴三角形的面积.
∴三角形面积的最大值为.