2021年四川省遂宁市安居第一中学高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. ，，则下列判断正确的是 .为偶函数                     .有最小值，无最大值 .有最大值，无最小值          .无最大值，也无最小值 参考答案： B 略 2. 已知集合的值为    （    ） A．1或－1或0    B．－1 C．1或－1 D．0 参考答案： A 因为,即m=0,或者,得到m的值为1或－1 或0，选A 3. 若两个分类变量x和y的列联表为：   y1 y2 合计 x1 10 45 55 x2 20 30 50 合计 30 75 105 则x与y之间有关系的可能性为(     ) A．0.1% B．99.9% C．97.5% D．0.25% 参考答案： C 考点：独立性检验的应用． 专题：计算题；概率与统计． 分析：由列联表中的数据代入公式查表求解即可． 解答： 解：代入公式K2=≈6.11 查表可得，P（K2≥5.024）=0.025； 故1﹣0.025=97.5%； 故选：C． 点评：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题． 4. 设全集，集合，集合，则= A.      B.          C.         D.      参考答案： D 5. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0），A1，A2是实轴顶点，F是右焦点，B（0，b）是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点p1（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（　　） A．（，+∞） B．（，+∞） C．（1，） D．（，） 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】求出直线BF的方程为bx+cy﹣bc=0，利用直线与圆的位置关系，结合a＜b，即可求出双曲线离心率e的取值范围． 【解答】解：由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy﹣bc=0， ∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形， ∴＜a， ∴e4﹣3e2+1＜0， ∵e＞1， ∴e＜ ∵a＜b， ∴a2＜c2﹣a2， ∴e＞， ∴＜e＜． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 6. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为则（    ）． A． 1                         B. 2           C. —1                  D. 参考答案： 答案:B 7. 正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长和高分别为和2，它的顶点都在同一个球面上，则A、C两点的球面距离为     A.      B.       C.       D. 参考答案： 答案:D 8. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 参考答案： D  9. 已知函数，，则的零点的个数为 A．2          B.3          C.4           D5 参考答案： B 10. 是虚数单位，若集合=，0，1，则（    ）     A．        B．         C．         D． ∈   参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 关于的方程在上有且仅有一个实数解，则的取值范围为_    ▲     ． 参考答案： 12. 已知变量x，y满足约束条件，则目标函数：z= 3x -y的最大值是             。 参考答案： 6 画出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点（2,0）时取最大值，最大值为。 13. 已知函数的图象的一部分如下图所示，当时,则函数的最大值是____________ 参考答案： 14. 已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足条件B?C?A的集合C的个数为　      　． 参考答案： 4 【考点】子集与真子集． 【分析】根据B?C?A，确定满足条件的集合C的元素即可得到结论． 【解答】解：∵A={1，2，3，4}， 若B?C?A， ∴C={1，2}或{1，2，3}，或{1，2，4}，或{1，2，3，4}， 故满足条件的C有4个， 故答案为：4． 15. 正△的边长为1，向量，且，则动点P所形成的平面区域的面积为　  ． 参考答案： 16. 已知直线相交于两点，且，则c=___ 参考答案： 略 17. 若向量满足∥，且⊥，则＝       ． 参考答案： 0 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=x3﹣3x． （Ⅰ）求f′（2）的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题． 【分析】（Ⅰ）求导函数f'（x），把2代入即可求得f′（2）的值； （Ⅱ）求导，令导数f'（x）＞0，解此不等式即可求得单调增区间；令导数f'（x）＜0，解此不等式即可求得单调减区间； 【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣3， 所以f'（2）=9． （Ⅱ）f'（x）=3x2﹣3， 令f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1． 令f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1． 所以（﹣∞，﹣1），（1，+∞）为函数f（x）的单调增区间，（﹣1，1）为函数f（x）的单调减区间． 【点评】考查导数的运算法则和基本初等函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性问题，属基础题． 19. 如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点. （Ⅰ）求证：面； （Ⅱ）求证：；     参考答案： 如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.， （1）求证：面； 证明：由直四棱柱,得, 所以是平行四边形, 所以 …………………（3分） 而,, 所以面 ------------------6分 （2）求证：； 证明：因为, 则 ----------------9分） 又因为,且， 故 而，所以 ……………………（12分） 略 20. （14分）已知点H（－3，0），点P在轴上，点Q在轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足， . （Ⅰ）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C； （Ⅱ）过定点作直线交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，请说明理由. 参考答案： 解析：（Ⅰ）设, 且,      …………………2分                    …………………3分 .                 ………………………………………………4分 ∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）. 　　　　　　　　　　　　　…………………………………………5分 （Ⅱ）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；                                                          ……………6分 （2）当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组   消去并整理，得 , .   ……………7分 设直线AE和BE的斜率分别为，则: ＝ .  …………………9分 , , ， . 综合（1）、（2）可知.  …………………10分 解法二：依题意，设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组: 消去并整理，得 , . ……………7分 设直线AE和BE的斜率分别为，则: ＝ .  …………………9分 , , ， .       　……………………………………………………10分 （Ⅲ）假设存在满足条件的直线，其方程为，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则，点的坐标为. , ,  .                  …………………………12分 , 令，得 此时，. ∴当，即时，（定值）. ∴当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的直线不存在.     21. （本小题满分12分）为了解某班学生关注NBA是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表： 已知在全班48人中随机抽取一人，抽到关注NBA的学生的概率为． (l)请将上面的列表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA与性别有关？说明你的理由． (2)现从女生中抽取2人进行进一步调查，设其中关注NBA的人数为X，求X的分布列与数学期望． 下面的临界值表仅供参考： 参考答案： 22. (12分) 设为数列的前n项的和，已知，， (1) 求、，并求数列的通项公式； (2) 求数列的前n项和． 参考答案：