2021-2022学年北京国艺艺术学校高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则等于
A 2m B C D
参考答案:
C
2. 设,则a, b,c的大小关系是( )
A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a>c>b
参考答案:
D
3. 函数的图像大致为( )
参考答案:
A
4. 函数的部分图象如右图所示设,是图象的最高点,是图象与轴的交点,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 若P(2,1)为圆(x﹣1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线的方程为( )
A.x+y﹣1=0 B.2x﹣y﹣5=0 C.2x+y=0 D.x+y﹣3=0
参考答案:
D
【考点】直线的一般式方程.
【专题】计算题.
【分析】利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直,两直线垂直,斜率之积等于﹣1,求出直线AB的斜率,用点斜式求得直线AB的方程.
【解答】解:圆(x﹣1)2+y2=25的圆心为(1,0),直线AB的斜率等于 =﹣1,
由点斜式得到直线AB的方程为y﹣1=﹣1(x﹣2),即x+y﹣3=0,
故选 D.
【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法,圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直,两直线垂直,斜率之积等于﹣1.
6. 如果将函数f(x)=2sin3x的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象关于直线对称,则φ的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题:三角函数的图像与性质.
分析:根据左加右减,写出三角函数平移后的解析式,根据平移后图象的对称轴,把对称轴代入使得函数式的值等于±2,写出自变量的值,根据求最小值得到结果.
解:∵将函数f(x)=2sin3x的图象向左平移个单位长度,
∴平移后函数的解析式是y=2sin(3x+φ)
∵所得图象关于直线 x=称,
∴y=2sin(3×+φ)=±2,
∴3×+φ=kπ+(k∈Z).
∴φ=k.(k∈Z),φ>0,故当k=1时,φ=.
故选:A.
点评:本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式,本题解题的关键是先表示出函数的解析式,再根据题意来写出结果.
7. 若集合A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2-x)>1},则A∩B=( )
A.(2,4] B.[2,4] C.(-∞,0)∪(0,4] D.(-∞, -1)∪[0,4]
参考答案:
A
A={x|1≤3x≤81}={x|0≤x≤4},
B={x|log2(x2-x)>1}={x|x2-x>2}={x|x>2或x<-1},
则A∩B=(2,4]。
8. 若复数,则复数z所对应的点在( )
A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
参考答案:
A
9. 某几何体的三视图如右图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的的值是( )
A.2 B. C. D.3
参考答案:
C
10. 已知函数的图象在点(1,)处的切线方程是的值是
A. B.1 C. D.2
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知复数,满足(a,b为实数),则 ▲ .
参考答案:
2
略
12. 已知,则 .
参考答案:
由已知-sinα=-2cosα,即tanα=2,则sin2α+sin2α=.
13. 复数在复平面上对应的点的坐标是 .
参考答案:
14. 在集合上定义两种运算+和*(如下图),则*+______.
参考答案:
15. 已知,以为邻边的平行四边形的面积为,则和的夹角为 ;
参考答案:
或
略
16. 将函数的图象向右平移个单位长度,若所得图象过点,则的最小值是 .
参考答案:
移动后,过点,
则,所以或,
所以或,
所以的最小值为。
17. 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题:“今有垣(墙,读音)厚五尺,两鼠对穿,大鼠日(第一天)一尺,小鼠也日(第一天)一尺.大鼠日自倍(以后每天加倍),小鼠日自半(以后每天减半).问何日相逢,各穿几何?”
在两鼠“相逢”时,大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 : .
参考答案:
59,26.
【考点】等差数列的前n项和;等比数列的前n项和.
【分析】第一天的时候,大鼠打了1尺,小鼠1尺;第二天的时候,大鼠打了2尺,小鼠打了尺;第三天设大鼠打了X尺,小鼠则打了(0.5﹣X)尺,则X÷4=(0.5﹣x)÷,由此能求出大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比.
【解答】解:第一天的时候,大鼠打了1尺,小鼠1尺,一共2尺,还剩3尺;
第二天的时候,大鼠打了2尺,小鼠打了尺,这一天一共打了2.5尺,两天一共打了4.5尺,还剩0.5尺.
第三天按道理来说大鼠打4尺,小鼠尺,
可是现在只剩0.5尺没有打通了,所以在第三天肯定可以打通.
我们现在设大鼠打了X尺,小鼠则打了(0.5﹣X)尺
则打洞时间相等:
X÷4=(0.5﹣x)÷
解方程得X=,
所以大鼠在第三天打了8/17尺,
小鼠打了0.5﹣=尺
所以三天总的来说:大鼠打了3+=尺,小鼠打了5﹣尺,
∴大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是59:26.
故答案为:59,26.
【点评】本题考查等差数列与等比数列在生产生活中的实际应用,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知=(2λsinx,sinx+cosx),=(cosx,λ(sinx﹣cosx))(λ>0),函数f(x)=?的最大值为2.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA=,若f(A)﹣m>0恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】HR:余弦定理;GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象.
【分析】(Ⅰ)利用两个向量的数量积公式,三角恒等变换,求得f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,求函数f(x)的单调递减区间.
(Ⅱ)利用余弦定理求得cosC的值,可得C的值,再利用正弦函数的定义域和值域,求得f(A)的最小值,可得m的范围.
【解答】解:(Ⅰ)函数=λsin2x﹣λcos2x
=2λ(sin2x﹣cos2x)=2λsin(2x﹣),
因为f(x)的最大值为2,所以解得λ=1,则.
由,
可得:,,
所以函数f(x)的单调减区间为,k∈Z.
(Ⅱ)由.可得2b2﹣ab=b2+c2﹣a2,
即b2+a2﹣c2=ab,解得,即.
因为,∴,.
因为恒成立,则恒成立,即m≤﹣1.
19. (本小题满分14分)
设函数.
(Ⅰ)当a=2时,求的极值;
(II)令,若其图象上存在一点,使得以P为切点的切线斜率成立,求实数a的取值范围;
(III)当a=0时,方程有唯一实数解,求正数的值.
参考答案:
20. 现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.
参考答案:
解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件,,则.
(1)这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率
(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件,,故,.
所以,这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)的所有可能取值为0,2,4.
,
所以,的分布列是
0
2
4
.
略
21. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥ABCD-PGFE中,底面ABCD是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1.
(Ⅰ)求PD与BC所成角的大小;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面PAC;
(Ⅲ)求二面角A-PC-D的大小.
参考答案:
(Ⅰ)取的AB中点H,连接DH,易证BH//CD,且BD=CD …………………1分
所以四边形BHDC为平行四边形,所以BC//DH
所以∠PDH为PD与BC所成角………………………………………………2分
因为四边形,ABCD为直角梯形,且∠ABC=45o, 所以⊥DA⊥AB
又因为AB=2DC=2,所以AD=1, 因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形,所以PD=DH=PH=,故∠PDH=60o ……………4分
(Ⅰ)连接CH,则四边形ADCH为矩形, ∴AH=DC 又AB=2,∴BH=1
在Rt△BHC中,∠ABC=45o , ∴CH=BH=1,CB= ∴AD=CH=1,AC=
∴AC2+BC2=AB2 ∴BC⊥AC……6分 又PA平面ABCD∴PA⊥BC ……7分
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC ………………………………………8分
(Ⅲ)如图,分别以AD、AB、AP为x轴,y轴,z轴
建立空间直角坐标系,则由题设可知:
A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0),
∴=(0,0,1),=(1,1,-1) ………………………………………… 9分
设m=(a,b,c)为平面PAC的一个法向量, 则,即
设,则,∴m=(1,-1,0) ………………………………………10分
同理设n=(x,y,z) 为平面PCD的一个法向量,求得n=(1,1,1) ………11分
∴
所以二面角A-PC-D为60o ………………………………………………… 12分
22. 已知函数,曲线在处的切线为l:.
(1)若时,函数有极值,求函数的解析式;
(2)若函数,求的单调递增区间(其中).
参考答案:
解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得
f′(x)=3x2+2ax+b.
当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0. ①
当x=时,y=f(x)有极值,则f′=0,
可得4a+3b+4=0. ②
由①、②解得a=2,b=-4.
由于l上的切点的横坐标为x=1,
∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.
∴c=5.
则f(x)=x3+2x2-4x+5. ……