2021-2022学年四川省南充市清水中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 幂函数在上是增函数,则( )
A.2 B.-1 C.4 D.2或-1
参考答案:
A
试题分析:根据幂函数的定义可知,,解得,所以或,又因为在上是增函数,所以,,故选A.
考点:幂函数的定义与性质.
2. 函数f(x)=4﹣4x﹣ex(e为自然对数的底)的零点所在的区间为( )
A.(1,2) B.(0,1) C.(﹣1,0) D.(﹣2,0)
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】计算题.
【分析】先判断函数的单调性,然后结合选项,利用零点判定定理即可求解
【解答】解:∵f(x)=4﹣4x﹣ex单调递减
又∵f(0)=3>0,f(1)=﹣e<0
由函数 的零点判断定理可知,函数f(x)的零点在区间(0,1)
故选B
【点评】本题主要考查了函数的零点判定定理的应用,属于基础试题
3. (5分)三个平面两两垂直,它们的三条交线交于点O,空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5,则OP长为()
A. 5 B. 2 C. 3 D. 5
参考答案:
D
考点: 平面与平面垂直的性质.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 构造棱长分别为a,b,c的长方体,P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长,OP为长方体的对角线,求出OP即可.
解答: 构造棱长分别为a,b,c的长方体,P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长,
则a2+b2+c2=32+42+52=50
因为OP为长方体的对角线.
所以OP=5.
故选:D.
点评: 本题考查点、线、面间的距离计算,考查计算能力,是基础题.
4. 如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔20000m,速度为900km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过80s后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
C
如图,,,
∴在 中,
山顶的海拔高度
5. 已知圆C:,直线:,圆C上的点A到直线l的距离小于2的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
由题意知圆的圆心是原点,圆心到直线的距离是,
由题意知本题是一个几何概型,
试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,
满足条件的事件是到直线l的距离小于2,过圆心作一条直线交直线l于一点,
∵圆心到直线的距离为5,
在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点作半径的垂线,
根据弦心距、半径、弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长BC对应的圆心角是60°,
根据几何概型的概率公式得到.
故选:B.
6. 若,,则 ( )
A.7 B.6 C.5 D.4
参考答案:
C
7. 的值( )
A.小于 B.大于 C.等于 D.不存在
参考答案:
A
略
8. 在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( )
A.40 B.42 C.43 D.45
参考答案:
B
【分析】先根据a1=2,a2+a3=13求得d和a5,进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案.
【解答】解:在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,
得d=3,a5=14,
∴a4+a5+a6=3a5=42.
故选B
【点评】本题主要考查了等差数列的性质.属基础题.
9. 若,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知是第三象限角,且则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的单调增区间为 。
参考答案:
12. 在△ABC中, =||=2,则△ABC面积的最大值为 .
参考答案:
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式,以及余弦定理消去cosA,结合基本不等式的应用进行求解即可.
【解答】解:设A、B、C所对边分别为a,b,c,
由=||=2,得bccosA=a=2 ①,
=bc==,
由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA=4②,
由①②消掉cosA得b2+c2=8,所以b2+c2≥2bc,bc≤4,当且仅当b=c=2时取等号,
所以S△ABC==,
故△ABC的面积的最大值为,
故答案为:.
13. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且,则 .
参考答案:
12
设等差数列{an}的公差为d,
∵S13=52,∴13a1+d=52,化为:a1+6d=4.
则a4+a8+a9=3a1+18d=3(a1+6d)=3×4=12.故填12.
14. 函数的值域为 .
参考答案:
15. 给出下列命题:
①在空间,若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线平行;
②在空间,若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线平行;
③在空间,若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线平行;
④在空间,若两条直线都与一个平面垂直,则这两条直线平行;
其中,正确命题的序号是 。(写出所有正确命题的序号)
参考答案:
①④
16. 已知,且,则的值是____________________.
参考答案:
解析:
17. 函数y=(x﹣1)2的最小值为 .
参考答案:
0
考点: 二次函数的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据顶点式得到它的顶点坐标是(1,0),再根据其a>0,即抛物线的开口向上,则它的最小值是0.
解答: 解:根据非负数的性质,(x﹣1)2≥0,
于是当x=1时,
函数y=(x﹣1)2的最小值y等于0.
故答案为:0.
点评: 本题考查了二次函数的最值的求法.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)用长为16米的篱笆,借助墙角围成一个矩形ABCD(如图),在P处有一棵树与两墙的距离分别为a米(0<a<12)和4米.若此树不圈在矩形外,求矩形ABCD面积的最大值M.
参考答案:
考点: 函数模型的选择与应用.
专题: 应用题.
分析: 先设AB=x,则AD=16﹣x,依题意建立不等关系得出x的取值范围,再写出SABCD=的函数解析式,下面分类讨论:(1)当16﹣a>8(2)当16﹣a≤8,分别求出矩形ABCD面积的面积值即可.
解答: 设AB=x,则AD=16﹣x,依题意得,
即4≤x≤16﹣a(0<a<12)(2分)
SABCD=x(16﹣x)=64﹣(x﹣8)2.(6分)
(1)当16﹣a>8,即0<a<8时,
f(x)max=f(8)=64(10分)
(2)当16﹣a≤8,即8≤a<12时,
f(x)在[4,16﹣a]上是增函数,(14分)
∴f(x)max=f(16﹣a)=﹣a2+16a,
故.(16分)
点评: 构造二次函数模型,函数解析式求解是关键,然后利用配方法、数形结合法等方法求解二次函数最值,但要注意自变量的实际取值范围,本题求出的函数是分段函数的形式,在分段函数模型的构造中,自变量取值的分界是关键点,只有合理的分类,正确的求解才能成功地解题.
19. (本小题满分12分)
已知函数(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;(2)求函数的单调增区间;(3)若,求的最大值和最小值.
参考答案:
(1)列表、作图…………………………….4分
x
0
y
3
6
3
0
3
(2)由得
所以
所以函数的单调增区间为---------------------8分
(3)因为
所以,所以,
所以当即时,
当即时,---------------------12分
20. (本题满分12分)
已知全集,,,求(1);(2).
参考答案:
解: 6分
12分
21. 设全集,集合.
(1)求集合;
(2)若 C---UB,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)由 ………………………………4分
由 得,即得…………………8分
(2)由,得.
,
即 ……
略
22. (8分)设递增等差数列的前项和为,已知,是和的等比中项.
(l)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
参考答案:
(1)在递增等差数列中,设公差为, 解得
, (4分)
(2) ,. (8分)