立体几何中探索性问题
一.方法综述
立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等;同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。
对于探索性问题(是否存在某点或某参数,使得某种线、面位置关系成立问题)是近几年高考命题的热点,问题一般有三种类型:(1)条件追溯型;(2)存在探索型;(3)方法类比探索型。现进行归纳整理,以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。
二.解题策略
类型一 空间平行关系的探索
【例1】(2020·眉山外国语学校高三期中(理))在棱长为1的正方体中,点是对角线上的动点(点与不重合),则下列结论正确的是__________
①存在点,使得平面平面;
②存在点,使得平面平面;
③的面积可能等于;
④若分别是在平面与平面的正投影的面积,则存在点,使得
【答案】①②③④
【解析】①如图所示,当是中点时,可知也是中点且,,,所以平面,所以,同理可知,
且,所以平面,
又平面,所以平面平面,故正确;
②如图所示,取靠近的一个三等分点记为,记,,因为,所以,所以为靠近的一个三等分点,
则为中点,又为中点,所以,且,,,所以平面平面,且平面,
所以平面,故正确;
③如图所示,作,在中根据等面积得:,
根据对称性可知:,又,所以是等腰三角形,
则,故正确;
④如图所示,设,在平面内的正投影为,在平面内的正投影为,所以,,当时,解得:,故正确.
故答案为 ①②③④
【点评】.探索开放性问题,采用了先猜后证,即先观察与尝试给出条件再加以证明,对于命题结论的探索,常从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论。平行关系问题中,“中点”是经常使用的一个特殊点,通过找“中点”,连“中点”,即可出现平行线,而线线平行是平行关系的根本。
【举一反三】
1.(2020·黑龙江大庆实验中学高三(文))如图所示,在长方体中,,点E是棱上的一个动点,若平面交棱于点,给出下列命题:
①四棱锥的体积恒为定值;
②存在点,使得平面;
③对于棱上任意一点,在棱上均有相应的点,使得平面;
④存在唯一的点,使得截面四边形的周长取得最小值.
其中真命题的是____________.(填写所有正确答案的序号)
【答案】①②④
【解析】对①,,又三棱锥底面
不变,且因为∥底面,故到底面的距离即上的高长度不变.故三棱锥体积一定,即四棱锥的体积恒为定值,①正确.
对②,因为,且长方体,故四边形为正方形,
故.要平面则只需,又,故只需面.
又平面,故只需即可.因为,故当 时存在点,使得,即平面.故②正确.
对③,当在时总有与平面相交,故③错误.
对④,四边形的周长,分析即可.
将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为使得截面四边形的周长取得最小值时的唯一点.故④正确.
故答案为:①②④
2.(2020北京西城区高三期末)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为正方形,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:平面ACF⊥平面BDEF;
(Ⅱ)若过直线BD的一个平面与线段AE和AF分别相交于点G和H(点G与点A,E均不重合),
求证:EF∥GH;
(Ⅲ)判断线段CE上是否存在一点M,使得平面BDM∥平面AEF?若存在,求的值;若不存在,
请说明理由.
【答案】见解析
解:(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,
且AC⊂平面ABCD,∴AC⊥平面BDEF.
又AC⊂平面ACF,∴平面ACF⊥平面BDEF.
(Ⅱ)证明:∵EF∥BD,EF⊂平面AEF,BD⊄平面AEF,∴BD∥平面AEF,
又BD⊂平面BDGH,平面AEF∩平面BDGH=GH,
∴BD∥GH,又BD∥EF,∴GH∥EF.
(Ⅲ)解:线段CE上存在一点M,使得平面BDM∥平面AEF,此时.
以下给出证明过程.证明:设CE的中点为M,连接DM,BM,
因为BD∥EF,BD⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,
所以BD∥平面AEF.设AC∩BD=O,连接OM,
在△ACE中,因为OA=OC,EM=MC,所以OM∥AE,
又因为OM⊄平面AEF,AE⊂平面AEF,所以OM∥平面AEF.
又因为OM∩BD=O,OM,BD⊂平面BDM,所以平面BDM∥平面AEF.
类型二 空间垂直关系的探索
【例2】(2020·上海市控江中学高三(理))已知矩形, , ,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折的过程中( )
A.存在某个位置,使得直线和直线垂直
B.存在某个位置,使得直线和直线垂直
C.存在某个位置,使得直线和直线垂直
D.无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直
【答案】A
【解析】如图所示:作于,于
翻折前,易知存在一个状态使,满足,,平面,平面,故正确错误;
若和垂直,平面,平面,不成立,故错误;
若和垂直,故平面,平面,,因为 ,故不成立,故错误;
故选:
【举一反三】
1.(2020·合肥市第六中学高三(理))已知矩形,,,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则( ).
A.当时,存在某个位置,使得
B.当时,存在某个位置,使得
C.当时,存在某个位置,使得
D.时,都不存在某个位置,使得
【答案】C
【解析】
立体几何中探索性问题
∵,∴若存在某个位置,使得直线,则平面,则,在中,,,则由直角边小于斜边可知,,即,结合选项可知只有选项中时,存在某个位置,使得,故选.
【方法点晴】本题主要考查翻折问题、线面垂直与线线垂直转换的应用以及空间想象能力,属于难题.解答空间几何体中垂直关系时,一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化,转化时要正确运用有关的定理,找出足够的条件进行推理,本题中,先根据线线垂直得到线面垂直,在根据线面垂直得到线线垂直,从而得到,进而得到结果.
2.(2020·安徽合肥一中高三期末)在棱长为1的正方体中,点是对角线上的动点(点与不重合),则下列结论正确的是__________.
①存在点,使得平面平面;
②存在点,使得平面平面;
③若分别是在平面与平面的正投影的面积,则存在点,使得;
④的面积可能等于.
【答案】①②③
【解析】由正方体性质可得平面,平面,所以,
是平面内两条相交直线,所以平面,平面,
,同理可证,是平面内两条相交直线,
所以平面,平面,所以平面平面,
当为直线与平面的交点时,满足平面平面,所以①正确;
根据①证明方法同理可证:,
可以证得平面,平面,所以平面平面,
所以②正确;
设,,
当时,,得:,即时,满足,所以③正确;
,均为直角三角形,,
的最小值为,此时,面积取得最小值,
,的面积不可能等于,所以④说法错误.
故答案为:①②③
3.(2020·四川高三月考)如图,在四棱锥中,底面是矩形,,,底面.
(1)当为何值时,平面?证明你的结论;
(2)若在边上至少存在一点,使,求的取值范围.
【答案】(1),证明见详解;(2)
【解析】(1)当时,四边形为正方形,则.
因为平面,平面,
所以,
又,平面,平面
所以平面.
故当时,平面.
(2)设是符合条件的边上的点.
因为平面,平面
所以,
又,,平面,平面
所以平面,
因为平面,所以.
因此,点应是以为直径的圆和边的一个公共点.
则半径, 即.所以.
类型三 空间角与距离的探索
【例3】(2020·重庆市松树桥中学校高三月考)如图,在单位正方体中,点P在线段上运动,给出以下四个命题:
异面直线与间的距离为定值;
三棱锥的体积为定值;
异面直线与直线所成的角为定值;
二面角的大小为定值.
其中真命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】对于①,异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离,即为正方体的棱长,为定值.故①正确.
对于②,由于,而为定值,又P∈AD1,AD1∥平面BDC1,所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长,所以三棱锥的体积为定值.故②正确.
对于③,由题意得在正方体中,B1C⊥平面ABC1D1,而C1P⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥C1P,故这两条异面直线所成的角为.故③正确;
对于④,因为二面角P−BC1−D的大小,即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小,而这两个平面位置固定不变,故二面角的大小为定值.故④正确.
综上①②③④正确.选D.
【举一反三】
1.(2020·浙江学军中学高三期末)正四面体中,在平面内,点是线段的中点,在该四面体绕旋转的过程中,直线与平面所成角不可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】考虑相对运动,让四面体ABCD保持静止,平面绕着CD旋转,故其垂线也绕着CD旋转,如下图所示,取AD的中点F,连接EF,则 则也可等价于平面绕着EF旋转,在中,易得如下图示,将问题抽象为如下几何模型,平面的垂线可视为圆锥的底面半径EP,绕着圆锥的轴EF旋转,显然则设BE与平面所成的角为,
则可得
2.(2020·全国高三月考(理))如图,已知等边三角形中,,为的中点,动点在线段上(不含端点),记,现将沿折起至,记异面直线与所成的角为,则下列一定成立的是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设正三角形的边长为,
如图,在等边三角形中,过作的垂线,垂足为,
过作,垂足为,
因为,则,且,故,
所以,
,故,又.
将沿折起至,则.
因,,,故平面,
因,故平面, 平面,
所以,又为异面直线、所成的角,
而,因,故,
故选A.
【点睛】折叠过程中空间中角的大小比较,关键是如何把空间角转化为平面角,同时弄清楚在折叠过程各变量之间的关系(可利用解三角形的方法来沟通).
3.(2020·北京高三期末)在边长为的等边三角形中,点分别是边上的点,满足且,将沿直线折到的位置. 在翻折过程中,下列结论成立的是( )
A.在边上存在点,使得在翻折过程中,满足平面
B.存在,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面平面
C.若,当二面角为直二面角时,
D.在翻折过程中,四棱锥体积的最大值记为,的最大值为
【答案】D
【解析】对于A,假设存在,使得平面,如图1所示,
因为平面,平面平面,故,但在平面内,是相交的,故假设错误,即不存在,使得平面,故A错误.
对于B,如图2,
取的中点分别为,连接,
因为为等边三角形,故,
因为,故
所以均为等边三角形,故,,
因为,,,故共线,
所以,因为,故平面,
而平面,故平面平面,
若某个位置,满足平面平面,则在平面的射影在上,也在上,故在平面的射影为,所以,
此时,这与矛盾,故B错误.
对于C,如图3(仍取的中点分别为,连接)
因为,所以为二面角的平面角,
因为二面角为直二面角,故,所以,
而,故平面,因平面,故.
因为,所以.
在中,,
在中,,故C错.
对于D,如图4(仍取的中点分别为,连接),
作在底面上的射影,则在上.
因为,所以且,所以其.
又
,
令,则,
当时,;当时,.
所以在为增函数,在为减函数,故.
故D正确.故选:D.
【点睛】本题考查平面图形的折叠问题、折叠过程的线面、面面关系的判断以及体积最值的计算,解题注意折叠前面变化的量与不变量的量,而线面、面面关系的判断